Analitikus függvénykiértékelés

A matematika és fizika terén mindig függvények kötnek össze változókat, legáltalánosabb esetben a következő alakban f(x) = y. Ezzel egyenértékű az az állítás, hogy minden x értéknek megfelel egy jól meghatározott y érték. Numerikus analízis terén gyakran megjelenik a behelyettesítés értékének a meghatározásának a problémája. Többek között az integrálok numerikus analízisében, a kvadratúráknál.

Bizonyos esetekben a függvényértékek kiszámításánál megjelennek a Taylor-, illetve a Maclaurin-sorok. Ezek megfelelő esetben egyre pontosabb értéket térítenek vissza, minél inkább növeljük a lépések számát.

Általános esetben megkeressük a függvény Maclaurin-sorát, majd a sor alapján meghatározunk egy rekurrenciás képletet. A képletet megfelelő módon implementálva egy programba, azt addig engedjük futni, míg a kívánt eredmény az általunk meghatározott hibakorláton belül esik.

A rekurrenció a következő formában hasznos programozásban: $y=u_{0}+u_{1}+u_{2}+...=\sum _{i=0}^{\infty }u_{i}$ , ahol az $u_{n+1}=f(u_{n},x)$

$(1+x)^{a}$ típusú függvény

Maclaurin sor:

$f(x)=1+ax+{1 \over 2!}a(a-1)x^{2}+{1 \over 3!}a(a-1)(a-2)x^{3}+...$

$T_{0}=u_{0}=1$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=u_{n}{a-n \over n+1}x$

A tagok számát növelve, a pontossága is növekszik a behelyettesítési értéknek.

Python kód

import math
def maclaurin(a, x, e):
	u = 1
	n = 0
	T = 1
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		u = x*u*(a-n)/(n+1)
		T = T + u
		n = n + 1
	return T

$e^{x}$ , exponenciális függvény

Maclaurin sor:

$f(x)=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+...$

$T_{0}=u_{0}=1$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=u_{n}{x \over n+1}$

Python kód

import math
def exp(x, e):
	u = 1
	n = 0
	T = 1
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		u = x*u/(n+1)
		T = T + u
		n = n + 1
	return T

A természetes logaritmus függvény

Maclaurin-sor:

$f(x)=\log(1+x)=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}+...+(-1)^{n}{x^{n} \over n}+H$ , $H$ $<{1 \over n+1}x^{n+1}$

$T_{0}=u_{0}=x$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=-u_{n}{n \over n+1}x^{n+1}$

Python kód

import math
def ln(x, e):
	u = x
	n = 0
	T = x
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		n = n + 1		
		u = -u*n*x/(n+1)
		T = T + u
	return T

Sin(x) függvény

$f(x)=sin(x)=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-...=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{x^{2n-1} \over (2n+1)!}$

$T_{0}=u_{0}=x$

Rekurrenciás képlet: $u_{n+1}=-u_{n}{x^{2} \over (2n+2)(2n+3)}$

Python kód

import math
def sin(x, e):
	u = x
	n = 0
	T = x
	while (math.sqrt(u*u)>e):
		n = n + 1		
		u = -u*x*x/((2n+1)*(2n))
		T = T + u
	return T

Lásd még

Analitikus függvény

Források

Numerikus módszerek (egyetemi jegyzet): Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc, Bábes-Bólyai Tudomány Egyetem, Fizika kar