Ferdén szimmetrikus mátrix

Az $n$-edrendű $A=[a_{ij}]$ négyzetes mátrix ferdeszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus mátrix, ha megegyezik a transzponáltjának (–1)-szeresével, vagyis ha $A^{T}=-A$, tehát $a_{ij}=-a_{ji}$ minden $i,j=1,\dots ,n$ indexre.

A nem 2 karakterisztikájú test fölötti ferdén szimmetrikus mátrix minden főátlóbeli eleme zérus, tekintettel a definíció szerinti $a_{ii}=-a_{ii}$ egyenlőségre minden $i=1,\ldots ,n$ index esetén, mert csak a 0 egyenlő a saját ellentettjével.

Továbbá nem 2 karakterisztikájú test fölött a páratlan dimenziójú ferdén szimmetrikus mátrixok determinánsa nulla.

Ugyanis: $A^{T}=-A\,$, így $\det(A)=\det(A^{T})=\det(-A)=(-1)^{n}\,\det(A)$.

Példa

Az $A={\begin{bmatrix}0&7&-2\\-7&0&-1\\2&1&0\\\end{bmatrix}}$ mátrix ferdén szimmetrikus mátrix, mert $(-1)\cdot A^{T}=(-1)\cdot {\begin{bmatrix}0&-7&2\\7&0&1\\-2&-1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&7&-2\\-7&0&-1\\2&1&0\\\end{bmatrix}}$.

Tulajdonságok

A ferdén szimmetrikus mátrixok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója ${\frac {n(n-1)}{2}}$.

Továbbá a vektoriális szorzás kifejezhető ferdén szimmetrikus mátrixszal:

$a\times b=S_{a}b$

ahol

$S_{a}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}$

Ezzel a vektoriális szorzatot tartalmazó függvények deriváltja is kiszámíthatóvá válik.

Források

• Obádovics, J. Gyula.szerk.: Érsek Nándor: 1.3.1 Műveletek mátrixokkal., Mátrixok és differenciálegyenletrendszerek. Budapest: Scolar Kiadó (2005. május 14.). ISBN 963-9534-24-2