Banach-tér

A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes.

A pontos definíció tehát a következő:

A $V$ vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle $d(a,b):=||a-b||$ összefüggéssel származtatott $d$ távolságra nézve a $V$ tér teljes, vagyis a $V$ térben minden Cauchy-sorozat konvergens.

Elnevezés

A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt $l^{p}$ tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az $l^{p}$ terek absztrahálásából született fogalom.

Példák

1. Az $l^{p}$ (${\mbox{ }}{p\in [1;\infty )}$ ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.

2. Az adott $[a,b]$ intervallumon folytonos függvények $C[a,b]$ tere Banach-tér a szuprémum normával.

3. Az adott $[a,b]$ intervallumon korlátos változású függvények $V[a,b]$ tere Banach-tér.

4. Az $n$-dimenziós $E_{n}$ euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.

5. A komplex számokból képzett $n$-dimenziós vektorok Cⁿ tere is Banach-teret alkot.

Néhány fontos tulajdonság

A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.

Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).

Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).

Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.

Források

• Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
• Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
• Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8