Biszférikus koordináta-rendszer

A biszférikus koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a két fókuszt összekötő egyenes körüli forgatással. Ezzel a bipoláris koordináta-rendszer fókuszai megmaradnak pontoknak a biszférikus koordináta-rendszerben.

A biszférikus koordináta-rendszer koordinátafelületei. A fókuszok 1 távolságra vannak a függőleges z-tengelytől. A piros önátmetsző tórusz a σ=45° koordinátafelület, a kék gömb a τ=0.5 koordinátafelület, és a sárga félsík a φ=60° koordinátafelület. A zöld tengely jelöli az a tengelyt, amihez a φ azimut viszonyítva van. A fekete pont a piros, kék és sárga felületek metszéspontja, melynek Descartes-koordinátái körülbelül (0,841; -1,456; 1,239)

Definíció

A $(\sigma ,\tau ,\phi )$ biszférikus koordináták leggyakrabban használt definíciója:

${\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}$

ahol egy $P$ pont $\sigma$ koordinátája megegyezik az $F_{1}PF_{2}$ szöggel; a $\tau$ koordináta pedig a fókuszoktól mért $d_{1}$ és $d_{2}$ hányadosának természetes logaritmusa:

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

Koordinátafelületek

A konstans $\sigma$-jú felületek különböző sugarú, egymást metsző tóruszok:

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\operatorname {ctg} \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

melyek mind áthaladnak a fókuszokon, de nem metszik egymást. A konstans $\tau$-jú felületek különböző sugarú, egymást nem metsző gömbök, melyek körülveszik a fókuszokat:

$\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\operatorname {cth} \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}$

A konstans $\tau$-jú gömbök középpontja a $z$-tengelyen helyezkedik el, míg a konstans $\sigma$-jú tóruszok középpontja az $xy$-síkban található.

Inverz képletek

Az inverz transzformációk képletei:

${\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\dfrac {R^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsh} \left({\dfrac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\operatorname {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right),\end{aligned}}$

ahol ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ és ${\textstyle Q={\sqrt {\left(R^{2}+a^{2}\right)^{2}-\left(2az\right)^{2}}}.}$

Skálázási tényezők

A $\sigma$ és $\tau$ biszférikus koordináták skálázási tényezője megegyezik:

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

míg az azimut skálázási tényezője

$h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

$dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

és a Laplace-operátor:

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alkalmazások

A bipoláris koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének megoldását, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását. Azonban a a Heimholtz-egyenlet nem biztos, hogy szétválasztható ebben a koordináta-rendszerben.

Egy tipikus példa két különböző sugarú vezető gömb elektromos mezője.

Források

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 665–666. o. (1953) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 182. o. (1961) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 113. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 
• Moon PH, Spencer DE. Bispherical Coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer Verlag, 110–112 (Section IV, E4Rx). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7 
• MathWorld description of bispherical coordinates

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bispherical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.