Cauchy-féle ismétlődő integrálás lehetővé teszi egy függvény n antideriváltjának komprimálást egy integrálba. (vö. Cauchy-féle integráltétel )
Legyen ƒ egy folytonos függvény a valós síkon. Akkor az ƒ függvény n -ik ismétlődő integrálja a alapon:
f
(
−
n
)
(
x
)
=
∫
a
x
∫
a
σ
1
⋯
∫
a
σ
n
−
1
f
(
σ
n
)
d
σ
n
⋯
d
σ
2
d
σ
1
{\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,d\sigma _{n}\cdots \,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}}
egyszerű integrálással:
f
(
−
n
)
(
x
)
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt}
A bizonyítás a teljes indukcióval :
Mivel ƒ folytonos, az integrálás alapjának figyelembe vételével
d
d
x
f
(
−
1
)
(
x
)
=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{(-1)}(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)}
és így
f
(
−
1
)
(
a
)
=
∫
a
a
f
(
t
)
d
t
=
0
{\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0}
Most feltételezzük: ez igaz n -re; n +1-re bizonyítandó, alkalmazzuk a láncszabályt .
tekintsük a következő függvényt:
g
(
x
1
,
x
2
)
=
1
n
!
∫
a
x
1
(
x
2
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle g(x_{1},x_{2})={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x_{1}}(x_{2}-t)^{n}f(t)dt}
akkor :
∂
∂
x
1
g
(
x
1
,
x
2
)
=
1
n
!
(
x
2
−
x
1
)
n
f
(
x
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}g(x_{1},x_{2})={\frac {1}{n!}}(x_{2}-x_{1})^{n}f(x_{1})}
és alkalmazva a “differenciálást integrálás jel alatt” módszert, kapjuk:
∂
∂
x
2
g
(
x
1
,
x
2
)
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
1
(
x
2
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}g(x_{1},x_{2})={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x_{1}}(x_{2}-t)^{n-1}f(t)dt}
így:
d
d
x
f
(
−
(
n
+
1
)
)
(
x
)
=
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{(-(n+1))}(x)=}
(
∂
∂
x
1
g
(
x
1
,
x
2
)
+
∂
∂
x
2
g
(
x
1
,
x
2
)
)
|
x
1
=
x
=
x
2
=
{\displaystyle \left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}g(x_{1},x_{2})+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}g(x_{1},x_{2})\right)\right|_{x_{1}=x=x_{2}}=}
1
n
!
(
x
−
x
)
n
f
(
x
)
+
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
=
{\displaystyle {\frac {1}{n!}}(x-x)^{n}f(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt=}
0
+
f
(
−
n
)
(
x
)
=
{\displaystyle \left.0+f^{(-n)}(x)=\right.}
f
(
−
n
)
(
x
)
.
{\displaystyle \left.f^{(-n)}(x)\right..}
továbbá
f
−
(
n
+
1
)
(
a
)
=
1
n
!
∫
a
a
(
x
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
=
0
{\displaystyle f^{-(n+1)}(a)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{a}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,dt=0}
Ezért, ƒ függvény n -ik antideriváltja ƒ (-n ) , és ƒ (-k ) (a )=0, az összes k -ra 1-től n -ig, megmutatva, hogy ƒ (-n ) (x ) egyenlő az eredeti ismételt integrállal.
A frakcionális számolásban, ez a formula használható a differintegrál fogalomhoz, lehetővé téve a differenciálást vagy az integrálást.
Gerald B. Folland: Advanced Calculus. (hely nélkül): Prentice Hall. 2002. ISBN 0-13-065265-2 
