Christoffel-szimbólumok

A Christoffel-szimbólumok a tér "görbeségére" vonatkozó mennyiségek a differenciálgeometriában. Bevezetésük Elwin Bruno Christoffel (1829–1900) nevéhez fűződik.

Definíciójuk

Vegyük az xⁱ, i = 1,2,...,n, koordináta bázist az n dimenziós M differenciálható sokaságon. Legyen

$e_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n$

a tangens tér bázisa. Jelölje $g_{ab}$ a metrikus tenzort. Ekkor felsőindexes Christoffel-szimbólumoknak nevezzük a következő mennyiségeket

$\Gamma _{k\ell }^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)\$

Itt és a következőkben, a kétszer előforduló indexekre automatikusan összegzés értendő (Einstein-féle konvenció). Jelölje vessző a parciális deriváltat. E jelöléssel a Christoffel-szimbólumok a következőképpen írhatóak:

$\Gamma _{k\ell }^{i}={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}).\$

Alsó indexes formája

A Christoffel-szimbólumok alsó indexes formája a következő alakú:

$\Gamma _{\gamma \,\alpha \beta }=g_{\gamma \delta }\Gamma _{\alpha \beta }^{\delta }={1 \over 2}(g_{\gamma \alpha ,\beta }+g_{\beta \gamma ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\gamma })\,.$

Szimmetriája

A definícióból következően a Christoffel-szimbólumok az alsó indexeikben szimmetrikusak:

$\Gamma _{k\ell }^{i}=\Gamma _{\ell k}^{i}$

Hasonlóan, az alsó indexes Christoffel-szimbólumok pedig a két utolsó indexükben szimmetrikusak:

$\Gamma _{i\,km}=\Gamma _{i\,mk}$

Kapcsolódó szócikkek

• Általános relativitáselmélet
• Differenciálgeometria
• Vektortér

Források

Hajós György: Differenciálgeometria I. Tankönyvkiadó. Budapest. 1973.

Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006