Dirichlet 1829-ben bizonyította egy periodikus, szakaszonként folytonos és szakaszonként monoton függvény Fourier-sorának konvergenciáját. Ezt a témát még Leonhard Euler vetette fel, és Dirichlet bizonyítása volt az első.
A Dirichlet által talált sorozat fontos szerephez jut ebben a bizonyításban, ahol magfüggvényként szerepel. Ezért nevezik Dirichlet-féle magfüggvénynek.
Jelentése összefügg a Fourier-sorokkal. A Fourier-sor n-edik közelítő tagja a Dn(x) és az f 2π szerint periodikus függvénykonvolúciója.
Példa:
ahol
fk-adik Fourier-együtthatója.
Ebből következik, hogy a Fourier-sorok konvergenciájának vizsgálatához elegendő a Dirichlet-féle magfüggvény tulajdonságait tanulmányozni. Dn L1-normája logaritmikusan tart -be, ha , így vannak folytonos függvények, amik nem állíthatók elő Fourier-sorokkal.[2] Ugyanis
A periodikus delta-disztribúció egységelem a 2π szerint periodikus függvények
konvolúciócsoportjában:
minden 2π szerint periodikus f függvényre.
A Fourier-sort a következő „függvény” reprezentálja:
A trigonometrikus azonosság bizonyításaszerkesztés
Adott szerint periodikus függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor
részletösszegeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk -et:
,
ahol
az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.
Mivel
,
ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:
A függvény nyilván páros, és így
A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:
Az előző 2 egyenlőség alapján:
speciálisan:
ahol
A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor