Diszkrét topológia

A matematika topológia nevű ágában diszkrét topológiának nevezzük az olyan topológiát, amelyben a tér valamennyi részhalmaza nyílt. A diszkrét topológiával felruházott teret magát diszkrét topologikus térnek nevezzük.

Formális definíció

Legyen $(X,\tau )$ egy topologikus tér. Azt mondjuk, hogy $\tau$ az $X$-en értelmezett diszkrét topológia, ha $\tau$ az $X$ alaphalmaz ${\mathcal {P}}(X)$ hatványhalmaza.

Tulajdonságai

• Bármely halmaz topologikus térré tehető a diszkrét topológiával.
• Egy adott halmazon értelmezhető topológiák közül a diszkrét topológia a legfinomabb.
• Minden halmaz nyílt, és minden halmaz zárt.
• A diszkrét topológia csak nulla dimenziós vektortér felett lineáris. Egy topológia lineáris, ha az alaphalmaz vektortér, és a rajta értelmezett műveletek: az összeadás, és a skalárral szorzás folytonosak.
• Ha $(X,\tau )$ diszkrét topologikus tér, és $f$ olyan függvény, amely $X$-et egy másik $(Y,\sigma )$ topologikus térre képezi le, akkor $f$ szükségképpen folytonos, hiszen minden halmaz $f$-nél vett ősképe nyílt. Megfordítva, egy $g:Y\rightarrow X$ függvény csak akkor lesz folytonos, ha értelmezési tartományának minden részhalmaza nyílt. Emiatt ha $f:X\rightarrow Y$ homeomorfizmus, akkor szükségképpen $(Y,\sigma )$ is diszkrét tér. Ez azt mutatja, hogy diszkrét tér homeomorf képe szintén diszkrét: a diszkrétség topologikus tulajdonság.

Források

• Schubert, Horst. Topológia, fordította Fridli Sándor, Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1986). ISBN 963-10-6424-7 
• http://www.cs.elte.hu/~krja/analyse/ana4.pdf