Disztribúció (matematika)

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

1. Van $K$ része $\Omega$, supp $\phi _{j}$, supp $\phi$ része $K$
2. Tetszőleges $\alpha$ indexvektor esetén $\partial ^{\alpha }\phi _{j}\rightarrow \partial ^{\alpha }\phi$ egyenletesen $\Omega$-n.

Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.

Példák

1. Legyen az $f$ függvény értelmezve az $\Omega$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen $T_{f}$ az a funkcionál, ami a $\phi$ függvényhez az $\int _{\Omega }f$ $d\phi$ értéket rendeli. Ekkor $T_{f}$ disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
2. A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen $a\in \Omega .$ Rendelje a $\delta _{a}$ funkcionál a $\phi$ függvényhez a $\phi (a)$ helyettesítési értéket. Ekkor $\delta _{a}$ nem reguláris disztribúció.
3. Legyen az $f$ függvény értelmezve az $\Omega$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen $\beta$ rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a $\phi$ függvényhez az $\int _{\Omega }f\partial ^{\beta }\phi$ értéket.

Tétel: A reguláris disztribúció $T_{f}$ majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az $f$ függvényt.

Műveletek

Összeadás: $u,v$ disztribúció $\Omega$-n; ekkor $(u+v)(\phi )=u(\phi )+v(\phi )\phi \in D(\Omega )$

Számmal szorzás: $(\lambda u)(\phi )=\lambda u(\phi )$

Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés: $D'(\Omega )$

Konvergencia: legyenek $u_{j},u$ disztribúciók; ekkor $u_{j}\rightarrow u,$ ha minden rögzített $\phi$-re $u_{j}(\phi )\rightarrow u(\phi )$

Függvénnyel szorzás: legyen $\psi \in C^{\infty }(\Omega )$; ekkor $(\psi u)(\phi )=u(\psi \phi )$

$u=v$ lokálisan, ha minden $x\in (\Omega )$ elemhez van $U(x)$ nyílt környezete, ahol $u=v$

Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.

Deriválás: $u$ disztribúció; $\partial _{j}u(\phi )=-u(\partial _{j}\phi )$

Direkt szorzat: $u,v$ disztribúciók; $(u\times v)(\phi )=u[x\rightarrow v(y\rightarrow \phi (x,y))]$ tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris

Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def$.(\phi _{k})$ * értelemben → azonosan 1-hez, ha

1. minden $\alpha$ esetén $\partial ^{\alpha }(\phi -1)\rightarrow 0$ egyenletesen $\mathbb {R} ^{2n}$ minden rögzített kompakt részhalmazban

2. minden $\alpha$ indexvektorhoz van $c_{\alpha }$ $|\partial \phi _{k}(y,z)|\leqslant c_{\alpha }$ minden $k,$ minden $(y,z)$-re. Definíció: $(u*v)(\phi )=\lim _{k\rightarrow \infty }(u\times v)[(y,z)\rightarrow \psi _{k}(y,z)\phi (y+z)]$

A konvolúció nem mindig létezik.

Források

Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek