Egybevágóság
Az egybevágóság geometriai fogalom. Két geometriai alakzat akkor egybevágó, ha távolságtartó transzformációval leképezhetőek egymásra, azaz ha eltolással, forgatással, tükrözéssel, illetve ezek kombinációjával fedésbe hozhatók.
A geometria Hilbert-féle axiómarendszerében az egybevágóság alapfogalom. Halmazelméleti értelemben az egybevágóság ekvivalenciareláció a térbeli alakzatok halmazán.
Sokszor röviden „egybevágóságnak” nevezik a távolságtartó transzformációkat is.
Jelölése szerkesztés
és szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:
- vagy
Tulajdonságai szerkesztés
- Legyenek , tetszőleges egyenesek, , az a egyenes tetszőleges pontjai, pedig a egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a egyenesen az pont egy adott oldalán pontosan egy olyan pont van, hogy teljesül.
- Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges , pontokra teljesül, hogy .
- Ha az szakasz egybevágó az szakasszal is és az szakasszal is, akkor az szakasz egybevágó az szakasszal.
- Legyenek , az egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az , szakaszoknak a pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá , az egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az , szakaszoknak a pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha és , akkor .
- Legyen egy tetszőleges szög az síkon, ahol a és a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá a sík egy tetszőleges egyenese és jelölje az valamely pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az síkon pontosan egy olyan, az pontból kiinduló félegyenes létezik, amelyre az (vagy ) egybevágóság teljesül és a szög belső pontjai az egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
- Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges szögre teljesül.
- Ha az szög egybevágó a szöggel is és az szöggel is, akkor a szög egybevágó az szöggel.
- Legyen és két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a , és egybevágóságok, akkor az és egybevágóságok is teljesülnek.
Története szerkesztés
Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül.[1] A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták,[2] ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.
Jegyzetek szerkesztés
- ↑ Lásd Euklidész: Elemek I. könyv Mauer Gyula fordításában és jegyzeteivel a MEK oldalán
- ↑ Lásd például Tarski axiómarendszerét.
Hivatkozások szerkesztés
- David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry, 2nd ed. Chicago: Open Court.
További információk szerkesztés
- The SSS
- The SSA
- Egybevágó szögek interaktív animációval
- Egybevágó szakaszok interaktív animációval