Elsőrendű nyomaték

Az elsőrendű nyomaték vagy síkidom statikai nyomatéka a metrikus terek nyomatékán alapuló fogalom. Egy tengelyre vett elsőrendű nyomaték a területelemek és a tengelytől való távolságuk szorzatának összege. [Σ(a x d)]. Az elsőrendű nyomaték annak mértéke, hogy egy síkidom területe milyen távolságra helyezkedik el egy tengelytől. Az elsőrendű nyomatékot a mérnöki gyakorlat gyakran használja egy síkidom súlypontjának meghatározására.

Definíció

Síkidom y és x tengelyre vett elsőrendű nyomatéka

Vegyünk egy tetszőleges alakú, A területű síkidomot és osszuk fel nagyon kis egyenlő méretű dA területekre, valamint legyen adott egy derékszögű x-y koordináta-rendszer. Minden kis területelemnek lesz egy x_i és y_i koordinátája. Ekkor az x illetve az y tengelyre vett elsőrendű nyomaték így számítható:

$S_{x}=Ay_{s}=\int y_{i}dA$ és

$S_{y}=Ax_{s}=\int x_{i}dA$.

A képletben x_s és y_s a keresztmetszet súlypontjának koordinátái az adott koordináta-rendszerben. Az elsőrendű nyomaték SI egysége méter a harmadik hatványon (m³).

A nyírófeszültség közelítő értéke

Hajlított tartóban ébredő nyírófeszültség

A statikai nyomatéknak fontos szerepe van a hajlításra terhelt tartóban ébredő nyírófeszültségek számításában. Egyenes rudak tiszta hajlítása a gyakorlatban ritkán fordul elő, a nyomatékterhelés általában nyírórerővel jár együtt. (Mindig ébred nyíróerő, ha a nyomaték a rúd mentén változik). A nyíróerő okozta csúsztatófeszültség közelítő értékének kiszámításához a rudat egy, a nyíróerőre merőleges síkkal képzeletben két részre osztjuk. Ha a rúd ténylegesen két részből állna (mint például laprugók esetében), akkor a két fél hajlítás közben elcsúszna egymáson. Egyetlen rúd esetében ezt az elcsúszást a rúd hossztengelyében ható tolóerők akadályozzák meg, ezek a tolóerők okozzák a csúsztatófeszültséget. A csúsztatófeszültség közelítő értéke a semleges száltól (a keresztmetszet súlypontjától) y távolságban lévő síkban:

$\tau _{x}={\frac {V}{I_{z}}}{\frac {S_{z}}{2z}},$

ahol

$V\,$ a keresztmetszetet terhelő nyíróerő,

$S_{z}\,$ a vizsgált hely feletti (vagy alatti) A₁ keresztmetszeti területrész elsőrendű nyomatéka a hajlítás z tengelyére (tehát nem a teljes keresztmetszeté!),

$I_{z}\,$ a teljes A keresztmetszet másodrendű nyomatéka a hajlítás z tengelyére,

$2z\,$ pedig az y helyen a keresztmetszet szélessége.

Lásd még

• Másodrendű nyomaték
• Poláris másodrendű nyomaték

Források

• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.