Fizikai inga

Fizikai inga elnevezést használunk minden olyan merev testre, ami rögzített tengely körül a nehézségi erő hatására elfordulhat, és lengő mozgást végezhet. Ez akkor valósulhat meg, ha a forgástengely nem megy át a test tömegközéppontján, és nem függőleges.

A mozgás egyenletei

A fizikai inga modellje

A mozgás paramétereit a merev testek rögzített tengely körüli forgását leíró forgásegyenlet alapján lehet meghatározni:

$M=I\beta$,

ahol $M$ a nehézségi erő forgatónyomatéka az adott tengelyre, $I$ a merev test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, $\beta$ a szöggyorsulás.

A nehézségi erőnek a vízszintes tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka az ábra jelöléseivel:

$M=-mgL\sin \theta$,

ahol $m$ a test tömege, $g$ a földi nehézségi gyorsulás, $L$ a tömegközéppont és a forgástengely távolsága, $\theta$ az a szög, amit a tömegközéppontot és a forgástengelyt összekötő egyenes a függőlegessel bezár. Ez a szög jellemzi a test helyzetét az egyensúlyi helyzethez képest. A negatív előjelet úgy értelmezhetjük, hogy a szögkitérés és a forgatónyomaték ellentétes irányúak. Az ábrán a kitérés jobbra nő, miközben a nehézségi erő balra forgat.

A szöggyorsulás a szögkitérés idő szerinti második deriváltja:

$\beta ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$.

A merev test forgását meghatározó forgásegyenlet tehát egy másodrendű differenciálegyenlet:

$I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgL\sin \theta$.

A matematikai ingánál is alkalmazott közelítés, amikor az egyenlet megoldását kis kitérések esetén keressük. Ebben az esetben a szinuszfüggvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

$\sin \theta \approx \theta$.

Ezt a közelítést alkalmazva átrendezés után kapjuk:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {mgL}{I}}\theta =0$.

Bevezetve a következő jelölést:

$\omega ={\sqrt {\frac {mgL}{I}}}$,

az egyenlet a következő alakra hozható: ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-\omega ^{2}\theta$.

Ez az egyenlet a harmonikus rezgőmozgást végző test mozgásegyenlete. A fizikai inga mozgása tehát kis kitéréseknél $\omega$ körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető.

A vízszintes tengely körül szabad lengéseket végző inga periódusideje kis kitérések esetén:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL}}}$.

A fizikai inga redukált hossza

Adott fizikai ingához található olyan matematikai inga, amelynek a lengésideje megegyezik az adott fizikai inga lengésidejével. A korábbi jelöléseket megtartva és bevezetve az inga $l_{0}$ redukált hosszát:

$l_{0}={\frac {I}{mL}}$,

a matematikai inga analógiájára a periódusidő átírható:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l_{0}}{g}}}$.

Nem vízszintes tengely körüli lengések

Ha a forgástengely nem vízszintes, hanem azzal $\psi$ szöget bezáró, akkor a nehézségi erőnek a megfelelő komponensével kell számolnunk. A forgatónyomaték a következő lesz:

$M=-mgL\sin \theta \cos \psi$.

A periódusidő ennek megfelelően:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL\cos \psi }}}$.

Alkalmazások

Időmérés

Széleskörűen elterjedt alkalmazás az időmérés ingaórával. A 2 másodperc periódusidejű ingát másodpercingának hívják, ennek hossza ~1 m. (Az 1 m hosszú matematikai inga periódusideje 2,006066 s). Az ingaórákban előszeretettel alkalmazzák a másodpercingát, mivel ez az inga minden kilendülésnél egyszer elmozdítja a másodperc mutatót. Az ingaórák a súrlódás következtében pontatlanok lesznek.

Gravitáció mérése

A g nehézségi gyorsulás változóként szerepel az inga lengésidejének képletében, ez azt jelenti, hogy az inga frekvenciája a Föld különböző pontjain eltérő lesz. Így például, ha egy ingaóra pontosan jár Glasgowban (ahol a g = 9,915 63 m/s²) és ezt az órát elvisszük Kairóba, (ahol g = 9,793 17 m/s²), az inga hosszát 0,23%-kal meg kell rövidíteni

Az inga ennélfogva alkalmas a földmérésben a helyi gravitáció mérésére a Föld bármely pontján – ezt gravimetriának hívják.

Szeizmológia

Csaknem függőleges tengelyű - úgynevezett horizontális - ingát használtak az első szeizmográfokban a földrengések mérésére. Az inga lengésideje - a fentebb tárgyalt nem vízszintes tengelyű lengéseknél láthatóan - változik, ha megváltozik a vízszintessel bezárt szög. A földrengés következtében megváltozó szög miatt a műszer mutatójának mozgásához tartozó periódusidő megváltozik, ezt egy dobra felcsévélt szalagra rajzolta a műszer.

Schuler-hangolás

Ahogy először Maximilian Schuler igazolta 1923-ban írt, klasszikussá vált dolgozatában, hogy egy inga, melyenek periódusideje pontosan megegyezik egy hipotetikus mesterséges holddal, mely a Föld felszine magasságában kering (ez ~84 perc) a Föld középpontja felé fog mutatni, ha az alapja hirtelen elmozdul. Ez az alapelve a Schuler-hangolásnak, melyet minden inerciális vezérlés tervezésénél figyelembe kell venni, amely a Föld közelében működik, tehát például repülőgépeken vagy hajókon.

Csatolt ingák

Két csatolt inga kettős ingát alkot. Sok fizikai rendszert lehet modellezni csatolt ingával. Bizonyos feltételek mellett ezek a rendszerek a kaotikus mozgás szemléltetésére is alkalmasak.

Szórakoztató ingák

Ingát gyakran látni játszótereken. A hinta egy bizonyos fajta parametrikus lengőrendszer. Hintákkal szoktak kiegészíteni körhintákat is a nagyobb élmény kedvéért.

Rugózás helyettesítése

Az inga hasonlóan viselkedik, mint egy rugó-tömeg rendszer. Néhány esetben (például mozdonyoknál) a kocsiszekrény vízszintes irányú rugózását ingás felfüggesztéssel helyettesítik.

További információk

• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963-10-359-13
• Interaktív Java szimuláció egy egyszerű inga mozgásáról. Szerző: Erik Neumann
• Interaktív Java szimuláció a kettős inga mozgásáról. Szerző: Erik Neumann

Lásd még

• Matematikai inga
• Ingaóra
• Foucault-inga
• Kettős inga
• Harmonográf
• Metronom
• Gömbi inga

Külső hivatkozások

• Az Eötvös-inga (Magyar Tudomány, 1988/7)
• Az Eötvös-inga mérések jelentősége és geodéziai alkalmazásuk