Generátorfüggvény

A matematikában az $r_{0},r_{1},\dots ,r_{i},\dots$ sorozat generátorfüggvénye az $R(x)=\sum _{i=0}^{\infty }r_{i}x^{i}$ hatványsor.

Több alkalmazása is lehetséges. Segítségével a sorozat további jellemzői deríthetők ki, illetve egyes jellemző mennyiségek számítását is megkönnyíti. A generátorfüggvényt használjuk a matematikai rekurzív sorozatok n-edik tagjának meghatározására, mint például a Fibonacci-számoknál.

A statisztikában és a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók számára a sorozatokhoz hasonlóan definiálnak generátorfüggvényt:

$G_{\chi }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}z^{k}$ (itt χ jelöli a valószínűségi változót, $p_{k}$ pedig a $P(\chi =k)$ valószínűséget).

A valószínűségszámításban a valószínűséggeneráló függvény segítségével meghatározhatók az eloszlás és a valószínűségi változó különféle jellemzői, illetve megkönnyíti bizonyos műveletek (független valószínűségi változók összegének jellemzése, konvolúció, összeg kiszámítása).

Tulajdonságai

• Kapcsolat a várható értékkel: $G_{\chi }(z)=\mathbf {E} z^{\chi }$
• A generátorfüggvény hatványsora abszolút konvergens a |z|<1 körben. Ebben a körben a generátorfüggvény differenciálható, a deriválás tagonként elvégezhető, és a derivált hatványsor is konvergens ezen a körön belül.
• A generátorfüggvény és az eloszlás kölcsönösen meghatározza egymást. Ez a kapcsolat folytonos. A generátorfüggvény k-adik deriváltjával:

$p_{k}={\frac {G_{\chi }(x)^{(k)}(0)}{k!}}$

• Ha a hatványsor nagyobb körben is konvergál, akkor:

$G'_{\chi }(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kp_{k}z^{k-1}=\sum _{k=0}^{\infty }kp_{k}z^{k-1}$

$G'_{\chi }(1)=\mathbf {E} \chi$

• Tetszőleges r-re:

$G_{\chi }^{(r)}(z)=\sum _{k=r}^{\infty }k(k-1)\dots (k-r+1)p_{k}z^{k-r}=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)\dots (k-r+1)p_{k}z^{k-r}$

• Ha r=2:

$G_{\chi }^{(2)}(z)=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)p_{k}z^{k-2}=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)p_{k}z^{k-2}$

$G_{\chi }^{(2)}(1)=\mathbf {E} \chi ^{2}-\mathbf {E} \chi$

• A generátorfüggvény r-szeri deriválhatósága balról x=1-ben ekvivalens az összes momentum létezésével egészen az r-edik momentumig.
• A generátorfüggvény és a konvolúció kapcsolata:

$G_{\chi +\eta }(z)=G_{\chi }(z)G_{\eta }(z)$

Nevezetes eloszlások generátorfüggvénye

• Az (n, p) paraméterű binomiális eloszlás generátorfüggvénye:

$G(z)=(1-p+pz)^{n}\,$

• A λ paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye:

$G_{\chi }(z)=e^{\lambda (z-1)}\,$

• A p paraméterű geometriai eloszlás generátorfüggvénye:

$G_{\chi }(z)={\frac {p}{1-(1-p)z}}={\frac {p}{1-qz}}$ (ahol $q=1-p$)

• Az (r, p) paraméterű negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye:

$G_{\chi }(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}=\left({\frac {1-q}{1-qz}}\right)^{r}$ (ahol $q=1-p$)

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]