Gömbi geometria

A gömbi geometria a geometria egy ágazata, ami a gömbfelületet írja le. Felfogható nemeuklideszi geometriaként is.

Tekintsünk egy egységsugarú, $O$ középpontú $G$ gömböt. (Elegendő az egységsugarú gömbökkel foglalkoznunk, hiszen bármely két gömb hasonló.) A gömbök síkmetszetei körök, melyek közül azok a legnagyobbak, melyek síkja átmegy a gömb középpontján. A maximális sugarú körök a gömbön a főkörök. Tehát az euklideszi geometriában megjelenő egyenesek szerepét a gömbi geometriában a főkörök veszik át. Gömbi szakaszoknak nevezzük a gömb $\pi$-nél nem hosszabb főköríveit. Gömbi egyeneseknek nevezzük a gömb főköreit. Ha $A$ és $B$ a gömb két nem átellenes pontja, akkor az $AOB$ sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek az $A$ és $B$ közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha $A$ és $B$ átellenes pontok, akkor végtelen sok $\pi$ hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

Az $A$ és $B$ pontok gömbi távolsága, melyet $d(A,B)$-vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

Az ábrán látható főkörök síkjainak hajlásszöge, a körök érintőinek hajlásszöge.

A gömbfelület két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont főkörívének felező merőleges főkörén helyezkednek el.

Gömbkétszög:

A gömbkétszög felülete: $F=2r^{2}\alpha$.

Gömbháromszög

A gömbháromszög szögeinek összege nem egyenlő 180 fokkal

Ha az $A,B,C$ pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az $ABC$ gömbháromszögnek. Az $ABC$ gömbháromszög csúcsai az $A$, $B$, $C$ pontok, oldalszakaszai az $A,B,C$ pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: $a=d(B,C)$, $b=d(A,C)$ és $c=d(A,B)$. Az $ABC$ gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög = $\alpha$ az $AB$ és $AC$ főkörívek $A$-beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az $OA$ egyenes által határolt, $B$-t, illetve $C$-t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög =$\beta$ és BCA szög = $\gamma$ szögeket. Az $ABC$ euklideszi háromszög $A$ csúcsnál lévő szöge általában különbözik az $ABC$ gömbháromszög $\alpha$ szögétől.

Tulajdonságai: Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál, a gömbi geometriában az oldal az ívhossznak megfelelő (csakúgy, mint az euklideszi síkban). Felület: $F=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\ r^{2}$. Gömbi felesleg: $\alpha +\beta +\gamma -\pi$.

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a szinusz-, koszinusz-tétel, illetve a Pitagorasz-tétel.

Gömbi szinusz-tétel

$\sin \ a\ :\ \sin \ b\ :\ \sin \ c=\sin \ \alpha \ :\sin \ \beta \ :\sin \ \gamma$

Bizonyítás1.: Legyen az $A$ pont merőleges vetülete az $OBC$ síkra $D$, és legyen $D$ vetülete az $OB$, illetve $OC$ egyenesekre $E$ és $F$. Ekkor nyilván $AE\perp OB$-re és $AF\perp OC$-re. Viszont $AED$ szög = $\beta$ és $AFD$ szög = $\gamma$, tehát $\sin \ \beta$ = ${\frac {AD}{AE}}$ és $\sin \ \gamma$ = ${\frac {AD}{AF}}$, ezért $\sin \ \beta \ :\ \sin \ \gamma$ = $AF\ :\ AE$. Azonban $AOB$ szög = $c$, így $AE=\sin \ c$. Hasonlóan $AF=\sin \ b$, tehát $\sin \ \beta \ :\ \sin \ \gamma =\sin \ c\ :\ \sin \ b$.

Bizonyítás2.: $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}$

${\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})|=\sin \ c\ \sin \ a\ \sin(\pi -\beta )$

másrészt: $({\vec {c}}\times {\vec {a}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {a}}$

${\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}=|({\vec {c}}\times {\vec {a}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})|=\sin \ b\ \sin \ c\ \sin(\pi -\alpha )$

$\longrightarrow \sin \ c\ \sin \ a\ \sin \ \beta =\sin \ b\ \sin \ c\ \sin \ \alpha$

${\frac {\sin \ a}{\sin \ b}}={\frac {\sin \ \alpha }{\sin \ \beta }}$

Gömbi koszinusz-tétel oldalakra

$\cos c=\cos \ a\ \cos \ b+\sin \ a\ \sin \ b\ \cos \ \gamma$

Bizonyítás: $({\vec {b}}\times {\vec {c}})({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {b}}({\vec {c}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}}))={\vec {b}}(({\vec {a}}{\vec {c}}){\vec {c}}-({\vec {c}}{\vec {c}}){\vec {a}})=({\vec {a}}{\vec {c}})({\vec {b}}{\vec {c}})-({\vec {c}}{\vec {c}})({\vec {a}}{\vec {b}})=\cos \ {\vec {b}}\ \cos \ {\vec {a}}-\cos \ {\vec {c}}$ másrészt:$({\vec {b}}\times {\vec {c}})({\vec {c}}\times {\vec {a}})=\sin \ {\vec {a}}\ \sin \ {\vec {b}}\ \cos(\pi -\gamma )$

$\longrightarrow \cos \ {\vec {b}}\ \cos \ {\vec {a}}-\cos \ {\vec {c}}=-\sin \ {\vec {a}}\ \sin \ {\vec {b}}\ \cos \ \gamma$ $\cos c=\cos \ a\ \cos \ b+\sin \ a\ \sin \ b\ \cos \ \gamma$

Gömbi koszinusz-tétel szögekre

$\cos \ \gamma =-\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ \cos \ c$

Bizonyítás: oldalakra vonatkozó koszinusz-tételt alkalmazzuk a polár gömbháromszögre

$\cos c^{*}=\cos \ a^{*}\ \cos \ b^{*}+\sin \ a^{*}\ \sin \ b^{*}\ \cos \ \gamma ^{*}$

$c^{*}=\pi -\gamma$

$a^{*}=\pi -\alpha$

$b^{*}=\pi -\beta$

$-\cos \ \gamma =\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ (-\cos \ c)$

$\cos \ \gamma =-\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ \cos \ c$

Gömbi Pitagorasz-tétel

$cos\ c=cos\ a\ cos\ b$

speciális esete az oldalakra vonatkozó koszinusz-tételnek, ahol $\gamma =90^{o}$

Polár gömbháromszög

Válasszuk az $A^{*}$ pontot a gömbön úgy, hogy az $OA^{*}$ vektor az $OBC$ síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az $A$-t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk $B^{*}$-ot és $C^{*}$-ot. Az $A^{*}B^{*}C^{*}$ gömbháromszög az $ABC$ gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az $a^{*}$, $b^{*}$, $c^{*}$ és $\alpha ^{*}$ , $\beta ^{*}$, $\gamma ^{*}$ betűkkel jelöljük.

gömbháromszög oldalai:

$a=(b,c)$szög = $\arccos({\vec {b}}{\vec {c}})$

$b=(c,a)$szög = $\arccos({\vec {c}}{\vec {a}})$

$c=(a,b)$szög = $\arccos({\vec {a}}{\vec {b}})$

szögekkel való összefüggések:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {b}}\times {\vec {c}})$ szög = $\pi -\beta$

$({\vec {b}}\times {\vec {c}},{\vec {c}}\times {\vec {a}})$ szög = $\pi -\gamma$

$({\vec {c}}\times {\vec {a}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})$ szög = $\pi -\alpha$

polár gömbháromszög vektorai:

${\vec {c}}^{*}=({\vec {a}}\times {\vec {b}})^{\circ }$

${\vec {b}}^{*}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})^{\circ }$

${\vec {a}}^{*}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})^{\circ }$

polár gömbháromszög oldalainak hossza:

${\vec {a}}^{*}=({\vec {c}}^{*},{\vec {b}}^{*})$ szög = $({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}}\times {\vec {a}})$szög = $\pi -\alpha$

${\vec {b}}^{*}=({\vec {a}}^{*},{\vec {c}}^{*})$ szög = $({\vec {b}}\times {\vec {c}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})$szög = $\pi -\beta$

${\vec {c}}^{*}=({\vec {b}}^{*},{\vec {a}}^{*})$ szög = $({\vec {c}}\times {\vec {a}},{\vec {b}}\times {\vec {c}})$szög = $\pi -\gamma$

polár gömbháromszög polár gömbháromszöge:

megegyezik az eredeti polár gömbháromszöggel

${\vec {c}}^{**}=({\vec {a}}^{*}\times {\vec {b}}^{*})^{\circ }$

${\vec {b}}^{**}=({\vec {c}}^{*}\times {\vec {a}}^{*})^{\circ }$

${\vec {a}}^{**}=({\vec {b}}^{*}\times {\vec {c}}^{*})^{\circ }$

${\vec {b}}^{**}\uparrow \uparrow {\vec {c}}^{*}\times {\vec {a}}^{*}\uparrow \uparrow ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=(({\vec {a}}\times {\vec {b}})\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}-(({\vec {a}}\times {\vec {b}})\ {\vec {b}})\ {\vec {c}}=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}$