Hengerkoordináta-rendszer

A hengerkoordináta-rendszer vagy henger-koordinátarendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, mely egy „P” pont helyét (pozícióját) három adattal határozza meg:

• ρ a tengelytől mért (radiális) távolság, vagyis a „P” pont referenciasíkbeli vetületének távolsága az origótól,

  φ a „P” pont referenciasíkbeli vetületének (az origóból tekintett) szögtávolsága (azimut) a referenciairánytól és

  z a függőleges távolság a választott referenciasíktól.

Hengerkoordináta rendszer

Ez utóbbi távolság lehet pozitív vagy negatív, attól függően, hogy a referenciasík mely oldalán van a pont. A rendszer origója az a pont, ahol mindhárom koordináta értéke 0. Ez a referenciasík és a tengely metszőpontja.

A hengerkoordináták térbeli alakzatok leírására szolgálnak.

A tengelyt hengeresnek vagy longitudinálisnak nevezik, a polártengelytől történő megkülönböztetésként; a polártengely az az egyenes, mely a referenciasíkon fekszik, az origóban ered és a referencia irányába mutat. A tengelytől mért távolságot radiális távolságnak vagy rádiusznak hívják, míg a szöget bezáró koordinátát szögpozíciónak vagy azimutnak. A rádiusz és az azimut együtt a polárkoordináták, melyek megfelelnek a kétdimenziós polárkoordináta-rendszernek. A harmadik koordináta a magasság (ha a referenciasík vízszintes), és longitudinális pozíciónak vagy axiális pozíciónak is nevezik.

A hengeres koordináta-rendszer akkor használatos és hasznos, ha egy tárgynak vagy jelenségnek van forgási szimmetriája a longitudinális tengelyre nézve, mint például a vízfolyás egy egyenes csőben vagy a hőeloszlás egy fémhengerben.

Hengeres polárkoordinátának is hívják és poláros henger-koordinátának is. Használják csillagok pozícióinak meghatározására is egy galaxisban.

Meghatározás

Egy „P” pont három koordinátájának (ρ, φ, z) definíciója:

• A radiális távolság, ρ, „P” pont euklideszi távolsága a „z” tengelytől,
• Az azimut, φ az a szög, mely a választott sík referenciapontja és a „P” pont síkra vetített vonala közt záródik,
• A „z” magasság a „P” pont merőleges távolsága a választott síktól.

Ahogy a polárkoordináta-rendszerekben, úgy a hengerkoordináta-rendszerben a pontok koordinátázása nem egyértelmű; ugyanis a (ρ, φ, z) koordinátájú pontnak koordinátája még (ρ, φ ± n×360°, z), sőt (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z) is. Továbbá, a z tengely pontjain a ρ sugár nulla, így itt az azimut tetszőleges.

Olyan helyzetekben, ahol megkövetelik az egyértelmű koordinátázást, a következő korlátozásokat vezetik be: ρ ≥ 0, és φ egy 360 fokot lefedő intervallumba esik, általában [−180°,+180°] vagy [0,360°].

Konvenciók

A hengerkoordináta jelölései nem egységesek. Az ISO31-11 szabvány a (ρ, φ, z) jelöléseket ajánlja, ahol ρ a radiális koordináta, φ az azimut és z a magasság. A rádiuszt gyakran „r”-rel jelölik, az azimutot „θ”-val és a magasságot „h”-val (ha henger tengelye vízszintes) vagy „x”-szel.

Hengerkoordináta-felületetek

Koordináta-konverziók

A hengerkoordináta-rendszer csak egy a sok koordináta-rendszer között. A fejezetben néhány ismertebb koordináta-rendszer és a hengerkoordináta-rendszer kapcsolatát mutatjuk be.

Descartes-féle koordináta-rendszer

A hengerkoordináta- és a Descartes-féle koordináta-rendszerek közötti konverzió esetén kézenfekvő, ha a hengerkoordináta-rendszer referenciasíkja a Descartes-féle koordináta-rendszer x-y síkja (z=0), és a henger tengelye a descartesi z tengelye. Így mind a két rendszer tengelye azonos, és a megfeleltetés a hengerkoordináták (ρ,φ) és a Descartes-féle koordinátákra (x,y) azonos a polárkoordinátákkal, azaz:

$x=\rho \cos \varphi$

$y=\rho \sin \varphi$

az egyik irányban, és

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi ={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{\rho }})&{\mbox{if }}x\geq 0\\-\arcsin({\frac {y}{\rho }})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\\end{cases}}$.

Hengerkoordináta-felületek; a komponensek: p (zöld), φ (piros), z (kék), a három színes felület kereszteződésénél van az a pont, melyet a hengerkoordináták meghatároznak

Az arcsin függvény a szinuszfüggvény inverze, az azimut φ tartománya [−90°,+270°]. Továbbiak a polárkoordináta-rendszer cikkben olvashatók.

A korszerű programozási nyelvekben van olyan lehetőség, ahol az azimut φ értéke pontosan kiszámolható, a fent bemutatott analízis nélkül. Például ezt a funkciót a C programozási nyelvben atan2(y,x)-nak hívják, a Lispben pedig atan(y,x).

Gömbkoordináta-rendszer

A gömbkoordináta-rendszer (rádiusz r, inklináció θ, azimut φ) átkonvertálható hengerkoordinátákba:

θ emelkedési szög:		θ is inklináció:
$\rho =r\cos \theta \,$		$\rho =r\sin \theta \,$
$\varphi =\varphi \,$		$\varphi =\varphi \,$
$z=r\sin \theta \,$		$z=r\cos \theta \,$

θ emelkedési szög:		θ is inklináció:
$r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$		$r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$
${\theta }=\operatorname {arcsin} (z/r)$		${\theta }=\operatorname {arccos} (z/r)$
${\varphi }=\varphi \quad$		${\varphi }=\varphi \quad$

Távolság

A hengerkoordináta-rendszerben az

${\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(\rho ,\varphi ,z),\\{\mathbf {r} '}&=(\rho ',\varphi ',z')\end{aligned}}$

pontok távolsága:

${\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {\rho ^{2}+\rho '^{2}-2\rho \rho '\cos {(\varphi -\varphi ')}+(z-z')^{2}}}\end{aligned}}$

Koordináta-vonalak és -felületek

Ha a koordinátatranszformációt, mint vektoregyenletet tekintjük az ${\vec {r}}$ helyvektorral, akkor a következő egyenletet kapjuk:

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}$

Két koordináta rögzítésével koordinátavonalakhoz, egy koordináta rögzítésével koordinátafelületekhez jutunk. Páronként a koordinátafelületek koordinátavonalakban metszik egymást. A koordinátafelületek és koordinátavonalak segítenek meghatározni a helyi bázist.

Egy $(\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})$ ponton át három koordinátavonal halad, ha $(\rho _{0}\neq 0)$. Ezek:

• $\rho$ esetén egy $(0,0,z_{0})$ pontban kezdődő, a $z$-tengelyre merőleges félegyenes
• $\varphi$ esetén egy $(0,0,z_{0})$ középpontú, $\rho _{0}$ sugarú kör egy $z$-tengelyre merőleges síkban
• $z$ esetén egy $z$-tengellyel párhuzamos egyenes

Az ugyanehhez a ponthoz tartozó koordinátafelületek:

• konstans $\rho _{0}$ esetén egy $z$-tengelyű hengerfelület
• konstans $\varphi$ esetén egy $z$-tengely peremű félsík
• konstans $z_{0}$ esetén egy $z$-tengelyre merőleges sík

Lokális bázisvektorok és ortogonalitás

Egyenes vonalú koordinátarendszerekben a teljes tér számára egyetlen globális bázis van. Görbe vonalú koordinátarendszerekben minden ponthoz külön bázist kell definiálni. Egy pontban a helyi $\textstyle {\vec {b}}_{1}$, $\textstyle {\vec {b}}_{2}$ és $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ bázis vektorai a koordinátavonalak érintői, és a koordinátavonalakból deriválással megkaphatók. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a ${\vec {r}}$ helyvektor koordinátatranszformávciójának parciális deriváltjait tekintjük $\rho$, $\varphi$ és $z$ szerint:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}}\quad$, $\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-\rho \sin \varphi \\\rho \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$ és $\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$.

Ez a bázis ortogonális, de nem normált. Az egyes vektorok hossza:

$|{\vec {b}}_{1}|={\sqrt {{\vec {b}}_{1}{\vec {b}}_{1}}}=1\quad$, $\quad |{\vec {b}}_{2}|={\sqrt {{\vec {b}}_{2}{\vec {b}}_{2}}}=\rho$, $\quad |{\vec {b}}_{3}|={\sqrt {{\vec {b}}_{3}{\vec {b}}_{3}}}=1$

Normálással ortonormált bázishoz jutunk:

${\vec {e}}_{\rho }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}\right|}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\right|}}={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{z}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}\right|}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Metrikus tenzor

A metrikus tenzor kovariáns $g=(g_{ij})$ komponensei a kovariáns lokális bázisvektorok skaláris szorzatai:

$g_{ij}={\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}\quad (i,j\in \{1,2,3\})$.

Kiszámítható, hogy:

$g={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

Funkcionáldetermináns

Feltéve, hogy a $z$ egyenesvonalú koordinátának nincs hatása a funkcionűldeterminánsra:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=\rho$

Ebből adódik a $\mathrm {d} V$ térfogatelemre:

$\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z$

Ez megfelel a metrikus tenzor determinánsának normájának négyzetgyökének, amivel a koordinátatranszformáció számítható (lásd még: Laplace-operátor):

${\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} \rho \\\mathrm {d} \varphi \\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}\mathrm {d} \rho \\\mathrm {d} \varphi \\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}$

Vonal- és térfogatelemek

Több problémához célszerű a hengerkoordináta-rendszer használata. Ekkor hasznos a vonal- és a térfogatelemek ismerete, melyek integrálszámítás szempontjából fontosak. A vonalelem:

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} .$

A térfogatelem:

$\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

A ρ konstans sugarú felszínelem függőleges hengeren:

$\mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

A φ konstans azimutú felszínelem függőleges félsíkon:

$\mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.$

A z konstans magasságú felszínelem vízszintes síkon:

$\mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .$

Ebben a rendszerben a del operátor a következő kifejezéseket eredményezi a gradiensre, a divergenciára, a rotációra és a Laplace-operátorra:

${\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}$

Hengerkoordináta-harmonikusok

A Laplace-egyenlet hengerszimmetrikus megoldásait hengerkoordináta-harmonikusoknak hívják.

Irodalom

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York City: McGraw-Hill, 6576–657. o.. Sablon:LCCN (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand, 178. o.. Sablon:LCCN (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York City: McGraw-Hill, 174–175. o.. Sablon:LCCN, ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York City: Springer-Verlag, 95. o.. Sablon:LCCN (1967) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston: Jones and Bartlett Publishers, 113. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 
• Moon P, Spencer DE. Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print ed., New York City: Springer-Verlag, 12–17 (Table 1.02). o. (1988). ISBN 978-0387184302 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Cylindrical coordinate system című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polarkoordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információ

• http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html
• https://web.archive.org/web/20070129073636/http://astro.elte.hu/icsip/tajekozodas_az_egen/csill_krsz/index.html

Kapcsolódó szócikkek

• Koordináta-rendszer
• Csillagászati koordináta-rendszer