Induktív dimenzió

Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).

Definíció

Kis induktív dimenzió

Az $X$ topologikus tér $ind(X)\,$ kis induktív dimenziója így definiálható:

• $ind(\emptyset ):=-1$
• $ind(X)\leq n$, ha minden $x\in X$ pontra és $x$ minden $U$ nyílt környezetéhez van $x$-nek $V$ nyílt környezete, hogy ${\overline {V}}\subset U$, és $ind(\partial V)\leq n-1$.
• $ind(X)\,=\,n$, ha $ind(X)\leq n$ és nem $ind(X)\leq n-1$
• $ind(X)\,=\,\infty$, ha nincs $n\in \mathbb {N}$, amire az $ind(X)\leq n$ egyenlőtlenség fennáll.

Nagy induktív dimenzió

Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az $x\in X$ pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az $X$ topolgikus tér $Ind(X)\,$ nagy induktív dimenziója így definiálható:

• $Ind(\emptyset ):=-1$
• $Ind(X)\leq n$, ha minden $A\subset X$ halmazhoz, és $A$ minden $U\subset$ környezetéhez van $A$-nak egy nyílt $V$ környezete, hogy ${\overline {V}}\subset U$ és $Ind(\partial V)\leq n-1$.
• $Ind(X)\,=\,n$, ha $Ind(X)\leq n$ és nem $Ind(X)\leq n-1$
• $Ind(X)\,=\,\infty$, ha nincs $n\in \mathbb {N}$, amire az $Ind(X)\leq n$ egyenlőtlenség teljesül.

Megfigyelések

• Az $ind(X)\leq n$ állítás formálisan így írható fel: minden $x\in X$ pontnak van olyan környezetbázisa, ami $\leq n-1$ kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme.
• Az $Ind(X)\leq n$ állítás így formalizálható: minden $A,B\subset X$ diszjunkt zárt halmaznak van $U\supset A$ és $V\supset B$ nyílt környezete, hogy $U\cap V=\emptyset$, $\partial U\leq n-1$ és $\partial V\leq n-1$. Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme.
• Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem.

Tételek

Egyenlőtlenségek

Ha $X$ metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint

$ind(X)\leq Ind(X)\leq dim(X)$.

P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:

$dim(X)\leq ind(X)\leq Ind(X)$.

Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:

$ind(X)\,=\,Ind(X)\,=\,dim(X)$.

K. Nagami konstruált egy $X$ normális teret, amire $ind(X)=0$, $dim(X)=1$ és $Ind(X)=2$.

Kompaktifikáció

Jelölje $\beta X$ azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami $X$-et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor

• N. Wendenisow: Ha $X$ normális, akkor $Ind(X)=Ind(\beta X)$.
• J. R. Isbell: Ha $X$ normális, akkor $dim(X)=dim(\beta X)$.
• A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások.

Részhalmaztétel

$Ind$ és $dim$ teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét:

• Ha $X$ teljes normális tér, és $Y\subset X$, akkor $Ind(Y)\leq Ind(X)$, és $dim(Y)\leq dim(X)$.

Összegtétel

Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének:

• C. H. Dowker: Ha $X$ teljes normális tér, és $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zárt halmazok sorozata, hogy $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}$, akkor $Ind(X)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }Ind(F_{n})$.
• Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem.

Szorzattétel

Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{n+m}$.

• Ha $X$ és $Y$ nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor $ind(X\times Y)\leq ind(X)+ind(Y)$.
• Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten $A,B\subset X$ diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos $f:X\rightarrow [0,1]$ függvény, hogy $A=f^{-1}(0)$ és $B=f^{-1}(1)$.

Ha $X$ perfekt normális tér, $Y$ metrizálható és egyik sem üres, akkor $Ind(X\times Y)\leq Ind(X)+Ind(Y)$.

• A $dim$ dimenzióra hasonlóak igazak: ha $X$ és $Y$ is metrizálható, vagy ha $X$ parakompakt, és $Y$ kompakt.

Források

• Keiô Nagami: Dimension Theory, Academic Press (1970)