Jólfundált (matematika)

Egy halmazt nem-jólfundáltnak nevezünk, ha (első) tagja egy olyan sorozatnak, melyben minden rákövetkező tag az előző eleme, azaz indul belőle egy végtelen, „befelé” futó „∈-sor”. Ellenkező esetben jólfundált.

Egy relációt jólfundáltnak nevezünk X osztályon akkor és csak akkor, ha X-nek minden nem-üres részhalmazának van minimális eleme R-re nézvést; azaz X minden S (nem-üres) részhalmazának van olyan m eleme, hogy minden s∈S elemre: (s,m) pár nem eleme R-nek.

Formális definíció

Nem-jólfundált halmaz

a₀ nem-jólfundált ≡ ∃a₁ ∃a₂ ∃a₃ … ∃a_n (a₁∈a₀ , a₂∈a₁ … a_n∈a_n-1). Ha nem indul belőle ilyen végtelen "∈-sorozat”,azaz nem létezik fenn leírt a₁ elem, akkor a₀ jólfundált.

Jólfundált reláció

$\forall S\subseteq X(S\neq \varnothing \to \exists m\in S\,\forall s\in S\,(s,m)\notin R)$

Példák

• jólfundált halmaz: a 8 egész osztóit tartalmazó halmaz
• nem-jólfundált halmaz: a= {a} ( ={{…{a}}…})
• jólfundált reláció: "nagyobb, mint" < a természetes számok halmazán (de az egész számokon, vagy a pozitív valós számokon már nem az)
• nem-jólfundált reláció: bármely reflexív reláció; (például: "nagyobb-egyenlő, mint" ≤)

Jólfundáltsággal kapcsolatos paradoxon

A pontosan a jólfundált halmazokat tartalmazó halmazzal kapcsolatban merül fel a Mirimanoff-paradoxon. Jólfundált-e ez a halmaz? Azt kell higgyük, igen, hiszen minden eleme jólfundált, azaz per definitionem nem indul ki belőle egyetlen végtelen ∈-sorozat sem. Ha viszont jólfundált, akkor eleme kell hogy legyen magának, hiszen kiindulásként lefektettük, hogy az összes jólfundált halmazt tartalmazza. Azonban ha egy halmaz eleme magának, akkor garantált, hogy nem-jólfundált (ld. „Példák”)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Well-foundedness című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.