Közönséges differenciálegyenlet

A közönséges differenciálegyenlet (KDE, angolul ODE) olyan differenciálegyenlet, amely egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva.

Egy olyan F(x, y, y′, y″, y‴, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 függvényegyenlet, ahol az F függvény argumentumában az x független változó mellett egy ismeretlen y(x) függvény deriváltjai is megjelennek. A megoldásokat az olyan y(x) függvények jelentik, amelyeknél F minden x-re nullát vesz fel.

Gyakran használják dinamikus jelenségek modellezésekor, amikor is a független változó a t-vel jelölt idő.

Csoportosításuk

Rend szerint

• n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Példák:

$y'(x)=\mathrm {sh} (x)+y^{2}(x)\,$ elsőrendű,

$y''(x)+y^{3}(x)y'(x)=\mathrm {tg} (x)\,$ másodrendű,

$y^{(4)}+7y=0\,$ negyedrendű.

Függvénytípus szerint

• Lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példák:

$\sin(x)y'(x)+x^{2}y(x)+{\sqrt {x}}=0\,$ elsőrendű lineáris,

$e^{x}y''(x)+(x^{4}-x)y'(x)-{\frac {x+1}{x^{3}}}y(x)+\cos(x)=0\,$ másodrendű lineáris.

Ezen belül lehet homogén vagy inhomogén, illetve lehet állandó együtthatójú vagy nem állandó együtthatójú.

○ Homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő, sem konstans tag. Példák:

$\sin(x)y'(x)-e^{x}y(x)=0\,$ elsőrendű homogén lineáris,

$x^{3}y''(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=0\,$ másodrendű homogén lineáris.

○ Inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példák:

$\sin(x)y'(x)-e^{x}y(x)=\mathrm {tg} (x)\,$ elsőrendű inhomogén lineáris,

$x^{3}y''(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=x^{2}+5\,$ másodrendű inhomogén lineáris.

○ Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az egyenletben y-nak és összes deriváltjának az együtthatója konstans. Példák:

$3y'-7y=0\,$ elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris (ez a legegyszerűbb típus),

$9y''(x)+4y'(x)=5x^{12}\,$ másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

• Nemlineáris, ha nem lineáris. Példák:

$\mathrm {ctg} (x)y''(x)+x^{2}y(x)y'(x)=8\,$,

$y''(x)=e^{\cos(xy^{2}(x))y(x)}\,$.

Néhány specialitás

Bernoulli-féle differenciálegyenlet

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

$y'+p(x)y=r(x)y^{n}\,$

alakú, ahol n ismert természetes szám (n ≠ 0, 1), p(x) és r(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet

A Riccati-féle differenciálegyenlet

$y'+p(x)y=r(x)y^{2}+h(x)\,$

alakú, ahol p(x), r(x) és h(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

$x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=r(x)\,$,

ahol r(x) ismert függvény, $a_{1}$ és $a_{2}$ pedig ismert állandók.

Megoldásuk

A megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni. Analitikusan a megoldás lehet általános vagy partikuláris, illetve reguláris vagy szinguláris. Alkalmazásokban gyakran numerikusan megoldásokat keresnek, például a Runge–Kutta-módszerrel.

Irodalom

• Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek (Műszaki, 1997) Bolyai-sorozat, 4. kiadás. ISBN 963 16 1216 3

Külső hivatkozások

A Wikimédia Commons tartalmaz Közönséges differenciálegyenlet témájú médiaállományokat.

• Közönséges differenciálegyenletek PDF – Szegedi Tudományegyetem, Fizikus Tanszékcsoport