Kis elemszámú véges csoportok listája

A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.

Jelölések

A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve

• 1 jelöli a csoport egységelemét
• Tetszőleges pozitív egész n-re $Z_{n}$ jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját.
• Tetszőleges $n>2$ egész számra $D_{n}$ jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját.
• Tetszőleges pozitív egész n-re $S_{n}$ jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és $A_{n}$ jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját.
• $V$ jelöli a Klein-csoportot; $Q_{8}$ jelöli a kvaterniócsoportot.

Alapvető tények

A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:

Minden pozitív egész n-re van n elemű csoport

Tetszőleges n-re $Z_{n},$ az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.

Ha p prímszám, akkor csak egy p elemű csoport van

Ha ugyanis $G$ p elemű csoport és $g\in G$ és $g\neq 1$, akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így $G=\{g,g^{2},g^{3},\dots ,g^{p}=1\}$, azaz $G=Z_{p}$.

Kis elemszámú véges csoportok

Egyelemű csoport

Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.

Kételemű csoport

Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a $Z_{2}$.

Háromelemű csoport

Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a $Z_{3}$.

Négyelemű csoport

Négyelemű csoportból kettő létezik: $Z_{4}$ és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha $G$ négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a $G=Z_{4}$. Ha nincs, akkor $G$ mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt $G$ izomorf a Klein-csoporttal.

Ötelemű csoport

Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a $Z_{5}$.

Hatelemű csoport

A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a $Z_{6}$ ciklikus csoport és az $S_{3}$ szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.

Hételemű csoport

Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a $Z_{7}$.

Nyolcelemű csoport

A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a $Z_{8},D_{4},Q_{8}$ csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg $Z_{8}$ kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).

Tizenegy elemű csoport

Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a $Z_{11}$.

Tizenhárom elemű csoport

Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a $Z_{13}$.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7