Kommutatív algebra

A kommutatív algebra az algebra egy részterülete. Kommutatív gyűrűkkel és a felettük létező modulusokkal foglalkozik. Mind az algebrai számelmélet, mind az algebrai geometria alapvető módon épít a kommutatív algebra eredményeire. Utóbbiban a kommutatív algebra biztosítja az ún. sémák lokális vizsgálatának eszközeit.

Emmy Noether, a kommutatív algebra úttörő kutatója által E. Fischernek írt, Noether kommutatív algerbai munkájáról szóló levelezőlap

Fontos és közismert példák kommutatív gyűrűre a következők: polinomgyűrűk, algebrai egészek gyűrűi a racionális számok testbővítéseiben – speciálisan ezek közé tartozik a racionális egész számok $\mathbb {Z}$ gyűrűje –, illetve a p-adikus egészek.

Az algebrai számelméletben egy számtest (a racionális számok $\mathbb {Q}$ testének véges bővítése) algebrai egészeinek gyűrűje Dedekind-gyűrű. Ezek viselkedésének vizsgálata a kommutatív algebra fejlődésének egy fontos motiváló ereje. Emellett a kommutatív algebra számos fogalma megfeleltethető az algebrai geometriában megjelenő (gyakran általánosabb) fogalmaknak. Ez áll többek között a Krull-dimenzió, a primér felbontás, a reguláris gyűrű, a Cohen–Macaulay-gyűrű illetve a Gorenstein-gyűrű fogalmára.

A nem feltétlenül kommutatív gyűrűk vizsgálatával a nemkommutatív algebra foglalkozik. Ez magában foglalja a gyűrűelméletet, a reprezentációelméletet, és a Banach-algebrák elméletét.

Számelméleti vonatkozások

A kommutatív algebra által vizsgált objektumok először feltehetően a számelméletben jelentek meg. Az alapvető felismerés abban állt, hogy ha $\mathbb {Z}$-t egy polinom gyökeivel bővítjük, a kapott bővítés hasonlóságokat mutat $\mathbb {Z}$-vel.

Ezeket a kutatásokat a nagy Fermat-sejtés is motiválta. A sejtés szerint az

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

egyenletnek nincs a racionális egész számok között $(x,y,z)=(0,0,0)$-tól különböző megoldása, ha $n\geq 3$. Az állítás könnyen redukálható arra az esetre, ha $n=p$ prímszám. Egy lehetséges útnak tűnt a bizonyítás felé az egyenlet bal oldalának faktorizálása: ha $\mathbb {Z}$ helyett $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$-ben dolgozunk, ahol $\zeta _{n}$ primitív $p$-edik egységgyök, akkor a bal oldal szorzattá bontható: $x^{p}+y^{p}=\prod _{i=0}^{p-1}(x+\zeta _{p}^{i}y)=z^{p}$. Így a bal és a jobb oldalon is egy $p$ tényezős szorzat szerepel. Ha most alkalmazhatnánk a számelmélet alaptételét $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$-ben, akkor mindkét oldalt prímelemek szorzatára bonthatnánk, ami ellentmondáshoz vezethetne. A probléma viszont az, hogy a $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$ gyűrű általában nem UFD, azaz nem igaz benne a számelmélet alaptétele.

Ez a megközelítés vezetett az ideál fogalmának Dedekind általi bevezetéséhez. A név ideális, azaz nem valódi elemekre utal. Az ideálok a gyűrűelemek általánosításainak tekinthetők annyiban, hogy minden gyűrűelem generál egy főideált; az alaptétel szempontjából ez nem vezet gondokhoz, hiszen a prímfelbontás amúgy is mindig csak egységek erejéig egyértelmű. Dedekind sikeresen meghatározta azokat a gyűrűket, amikben az ideálok egyértelműen felírhatók prímideálok szorzataként: ezek a Dedekind-gyűrűk.

Az ideálok bevezetése önmagában nem volt elegendő a Fermat-tétel bizonyításához. Ugyanakkor ezeken keresztül Kummer sikeresen igazolta a tételt reguláris prímekre, azaz olyan $p$-kre, amik nem osztják a $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ test osztályszámát. (37, 59 és 67 kivételével minden 100 alatti prím reguláris.)

A gyűrűbővítések egy másik útját Kronecker alapozta meg: bevezette a polinomgyűrű fogalmát, és egy $K$ test feletti $f(X)$ polinom gyökeivel való bővítést $K[X]/(f(X))$ alakban értelmezett. Kronecker továbbá definiálta a Dedekind-féle ideálok megfelelőit ebben a felállásban. Egyértelmű prímfelbontás ugyan nem létezik ebben az esetben, viszont egy gyengébb formája fennáll: ez a Lasker által bizonyított primér felbontás.

A két fent vázolt elméletet Noether helyezte közös alapokra, úttörő munkát végezve a kommutatív algebra modern megalapozásában.

Főbb eszközök és eredmények

Konvenció: a továbbiakban gyűrű alatt kommutatív egységelemes gyűrűt értünk.

Noether-gyűrűk

A Noether-gyűrűk mind a kommutatív, mind a nemkommutatív gyűrűelméletben alapvető fontosságúak. Egy Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben ideálok bármely nemüres halmazának van maximális eleme. Ezzel ekvivalens, hogy a gyűrű teljesíti a maximumfeltételt ideálokra. Ez alatt azt értjük, hogy ideálok bármely

$I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots$

lánca stabilizálódik, azaz létezik olyan n, hogy:

$I_{n}=I_{n+1}=\cdots$

Egy kommutatív gyűrű továbbá akkor és csak akkor Noether, ha minden ideál végesen generált.

Lokalizáció

A lokalizáció az integritási tartományokra értelmezett hányadostest-fogalom általánosításának tekinthető. Heurisztikusan a lokalizálás során megengedjük a gyűrű bizonyos elemeivel való osztást, ez ugyanakkor a hányadostest-konstrukcióval szemben nem az összes nemzéró elem, hanem ezeknek csak egy részhalmaza lesz.

A formális definícióhoz először bevezetjük a multiplikatívan zárt részhalmaz fogalmát: ez az $R$ gyűrű egy olyan $S\subseteq R$ részhalmaza, ami tartalmazza a gyűrű egységelemét, és ha $s,s'\in S$, akkor $ss'\in S$.

Tekintsük a következő relációt az $R\times S$ halmazon: $(r,s)\sim (r',s')$ akkor és csak akkor, ha létezik olyan $t\in S$, hogy $t(sr'-s'r)=0$. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez ekvivalenciareláció. Az $R$ gyűrű $S$-nél vett $S^{-1}R$ lokalizáltja ekkor az erre a relációra nézve vett ekvivalenciaosztályok halmaza; a továbbiakban az $(r,s)$ elem osztályát $r/s$ jelöli. A lokalizálton az összeadást és a szorzást a következőképpen definiáljuk:

${\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}$, ${\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}$.

A kapott gyűrűn a zéruselem így $0/1$, az egységelem $1/1$ lesz.

Jegyezzük meg, hogy a „nevezők” $S$ halmazában megengedjük a zéróosztókat. Ha $S$ tartalmaz egy zéróosztót, akkor $S^{-1}R=0$. Ha $S$ nullosztómentes, akkor akkor $R$ beágyazható a lokalizáltba az

$R\hookrightarrow S^{-1}R,r\mapsto {\frac {r}{1}}$

leképezéssel.

Ha $S$ az $R$ összes nemnullosztójából áll, akkor a lokalizáltat az $R$ teljes hányadosgyűrűjének nevezzük.

Fontos speciális eset, amikor $S=R-{\mathfrak {p}}$ egy ${\mathfrak {p}}$ prímideál komplementere. Ekkor a prímideál definíciója révén multiplikatív halmazt kapunk. Ilyenkor a lokalizált szokásos jelölése $S^{-1}R=R_{\mathfrak {p}}$.

A lokalizáció fogalma kiterjed a gyűrű fölötti modulusokra is: ha $M$ egy $R$-modulus, akkor analóg módon definiálható az $S^{-1}M$ $S^{-1}R$-modulus.

A lokalizáció néhány fontos tulajdonsága:

• A lokalizáció rendelkezik a következő univerzális tulajdonsággal: bármely $R$-en értelmezett gyűrűhomomorfizmus, amely $S$ elemeit egységekbe viszi, keresztülfaktorizál az $S^{-1}R$ lokalizálton.
• A lokalizáció egzakt funktor.
• A lokalizáció tartja a faktorstruktúrát.
• A lokalizált ideáljai az eredeti gyűrű ideáljainak lokalizáltjai.

Az elnevezés az algebrai geometriával kapcsolatos; itt a lokális gyűrűk algebrai varietások egy adott pontnál vett, azaz helyi (lokális) vizsgálatakor kerülnek elő.

Hilbert bázistétele

Hilbert bázistétele szerint ha $R$ Noether-gyűrű, akkor az $R$ feletti egyváltozós polinomok $R[X]$ gyűrűje is Noether-gyűrű. A tételből indukció útján következik, hogy ha $R$ Noether-gyűrű, akkor $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ is az.

A tétel azon speciális esetét, amikor az alapgyűrű test, David Hilbert bizonyította először. Az elnevezésben a bázis szó az ideálok végesen generáltságára utal, ami ekvivalens a Noether-tulajdonsággal.

A bázistétel következménye, hogy Noether-gyűrű felett végesen generált algebra maga is Noether-gyűrű.

A tétel szerepe az algebrai geometriában a következő. Legyen $k$ egy test, legyen adott $k$ feletti $n$-változós polinomok egy

$\{p_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n}):i\in I\}\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

halmaza, és tekintsük $k^{n}$ azon $V$ részhalmazát, amelyen valamennyi $p_{i}$ eltűnik, azaz

$V=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,\forall i\in I\}$.

Ekkor $I$-nek van olyan véges $I'$ részhalmaza, hogy

$V=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,\forall i\in I'\}$,

azaz $V$ előáll csupán véges sok polinom közös zérushelyeként is. Ez a klasszikus algebrai geometria szempontjából azt jelenti, hogy bármely $k$ feletti algebrai varietást leírható véges sok polinom közös zérushelyeként.

Zariski-topológia

Legyen $R$ egy gyűrű (a szakasz eleji konvenció továbbra is érvényben van). Ekkor az $R$ spektruma alatt a prímideálok halmazát értjük, és ezt $\operatorname {Spec} R$-rel jelöljük. Ha $I\subseteq R$ egy részhalmaz (nem feltétlenül ideál), akkor legyen

$\mathrm {V} (I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R:I\subseteq {\mathfrak {p}}\}$.

Tekintsük ezeket a halmazokat az összes $I\subseteq R$ részhalmazra, és definiáljuk a spektrumon a Zariski-topológiát mint azt a topológiát, amiben pontosan ezek a $\mathrm {V} (I)$ halmazok a zárt részhalmazok. Ekkor $\operatorname {Spec}$ egy kontravariáns funktor a gyűrűk kategóriájából a topologikus terek kategóriájába. Az így definiált $\operatorname {Spec} R$ topologikus teret az algebrai geometriában affin sémának nevezik.

A klasszikus algebrai geometriában a Zariski-topológia fogalma egy másik értelemben is használatos. Legyen $k$ egy test, és legyen $I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $n$-változós polinomok egy halmaza (nem feltétlenül ideál a polinomgyűrűben). Ekkor a $k^{n}$ affin téren a Zariski-topológia zárt halmazai pontosan a

$V(I)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:\forall f\in I:f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}$, $I\subseteq R$

halmazok, azaz azon pontok halmazai, amik valamely $I\subseteq R$ részhalmazban elemeinek közös zérushelyeiként állnak elő.

A modern algebrai geometria számára az előbbi, a spektrumon alapuló megközelítés az alapvető; a gyűrűk spektrumaként előálló affin sémák a sémaelmélet alapkövei, az általános sémákat az affin sémák ún. összeragasztásával kapjuk. A fenti $k^{n}$ $n$-dimenziós affin tér megfelelője ekkor a $\operatorname {Spec} R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ spektrum. A Hilbert-féle gyenge Nullstellensatz szerint a két fogalom egybeesik, ha $k$ algebrailag zárt test (azaz nincsen nemtriviális algebrai bővítése) és $R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Az algebrai geometriai megközelítésben tehát a topológiai pontok szerepét a prímidálok veszik át, a fenti $\mathrm {V}$ és $V$ operátorok közti kapcsolat alapján pedig gondolhatunk a gyűrű elemeire mint függvényekre.

Nullstellensatz

Nullstellensatz név alatt több különböző, egymással összefüggő tételt lehet érteni, és a szakirodalomban a megnevezések nem teljesen egységesek. A következőkben az affin Nullstellensatz bizonyos variánsairól lesz szó; emellett az algebrai geometriában létezik még projektív illetve analitikus Nullstellensatz is. A Nullstellensatz szó németül zérushelytételt jelent.

Gyenge Nullstellensatz: Legyen $k$ algebrailag zárt test. Ekkor a $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gyűrű maximális ideáljai pontosan az $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ alakú ideálok, ahol $a_{1},\ldots ,a_{n}\in k$.

Nullstellensatz vagy Zariski-lemma: Ha $k$ egy test, akkor $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bármely maximális ideáljának maradékteste véges bővítése $k$-nak.

Egy másik, szintén Nullstellensatznak nevezett tétel tartalmazásfordító bijektív (Galois-)kapcsolatot ír le az affin tér algebrai részhalmazai és a polinomgyűrű radikálideáljai között. Ennek leírásához először vezessük be az $\mathrm {I}$ operátort: legyen $R$ gyűrű, $S\subseteq \operatorname {Spec} (R)$ egy részhalmaz. Ekkor

$\mathrm {I} (S)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in S}{\mathfrak {p}}$

Intuitíve az $\mathrm {I} (S)$ halmaz az $S$-en eltűnő függvények halmazának felel meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy $I(S)\subseteq R$ egy ideál, $\mathrm {I}$ rendezésváltó, és $\mathrm {I} (S)=\mathrm {I} ({\overline {S}})$, ahol ${\overline {S}}$ az $S$ lezártját jelöli a Zariski-topológiában.

Szükségünk lesz még a radikál fogalmára. Legyen $J\subseteq R$ egy ideál; ekkor $J$ radikálja azon gyűrűelemekből áll, amelynek valamely hatványa $J$-ben van.

${\sqrt {J}}=\{r\in R:\exists n\geq 0,r^{n}\in J\}$

Nyilvánvaló, hogy $J\subseteq {\sqrt {J}}$. Egy $J$ ideált radikálideálnak nevezünk, ha $J={\sqrt {J}}$.

Nullstellensatz: a $\mathrm {V}$ és $\mathrm {I}$ operátorok tartalmazásfordító bijekciót adnak meg a spektrum zárt részhalmazai és a gyűrű radikálideáljai között. Speciálisan $\mathrm {V} (\mathrm {I} (S))={\overline {S}}$, $\mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}$.

Krull-dimenzió

A dimenzióelmélet a kommutatív algebra azon részterülete, ami gyűrűk (és modulusok) dimenziófogalmaival foglalkozik. Több különböző dimenziófogalom is létezik, és ezek általában nem esnek egybe.

A Krull-dimenziót a következőképpen definiáljuk. Legyen ${\mathfrak {p}}$ az $R$ gyűrű egy prímideálja. Ekkor a ${\mathfrak {p}}$ magassága a

$0={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}$

láncok $n$ hosszának szuprémuma, ahol ${\mathfrak {p}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ prímideálok. Az $R$ gyűrű Krull-dimenziója a prímideáljainak magasságainak szuprémuma:

$\dim R=\sup\{\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}):{\mathfrak {p}}\in \operatorname {SpecR} \}$,

ahol Spec(R) az R spektruma, azaz a prímideálok halmaza. Mivel minden maximális ideál prím, ez megegyezik a maximális ideálok magasságainak szuprémumával. A definíció egyenes következménye, hogy egy prímideál magassága egyenlő a nála vett lokalizáció dimenziójával:

$\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})=\dim R_{\mathfrak {p}}$.

Hasonló módon definiálható egy topologikus tér Krull-dimenziója is, ekkor prímideálok helyett irreducibilis zárt halmazok láncaival dolgozunk. Ez adja a kapcsolatot az algebrai geometria dimenziófogalma felé: egy gyűrű spektrumán a Zariski-topológiára nézve vett topologikus Krull-dimenzió megegyezik a gyűrű fent definiált algebrai Krull-dimenziójával.

A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.

Krull főideáltétele a következőt állítja: legyen $R$ Noether-gyűrű, $r\in R$ a gyűrű egy eleme, és legyen $r\in {\mathfrak {p}}\subset R$ egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor $\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq 1$. Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.

Krull magasságtétele a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen $R$ Noether-gyűrű, legyenek $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$, és legyen ${\mathfrak {p}}$ egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint $\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n$.

Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először Nagata adott példát.

Primér felbontás

Noether-gyűrűkben minden ideál felírható bizonyos speciális ideálok – az ún. primér ideálok – metszeteként.

Legyen $I\subseteq R$ egy ideál. Ekkor az $I$ radikálja

${\sqrt {I}}=\{r\in R:\exists n\geq 0:r^{n}\in I\}$,

azaz azon gyűrűelemek halmaza, amiknek valamely hatványa $I$-ben van. Könnyen ellenőrizhető, hogy ${\sqrt {I}}\supseteq I$, és ${\sqrt {I}}$ ideál $R$-ben.

Egy $I\subseteq R$ ideált primér ideálnak nevezünk, ha teljesül a következő:

ha $a,b\in R$ és $ab\in R$, akkor $a\in I$ vagy $b\in {\sqrt {I}}$.

Ez a prímideál definíciójának gyengítése, következésképpen minden prímideál primér. Ennek a részleges megfordítása is igaz: ha $I$ primér, akkor ${\sqrt {I}}$ prímideál. Noether-gyűrűben a metszetirreducibilis ideálok (azon ideálok, amik nem állnak elő két nagyobb ideál metszeteként), primér ideálok. Ez azt sugallja, hogy a primér ideálok alkalmasak lehetnek arra, hogy a gyűrű ideáljainak metszetként való előállításának alkotóköveiként szolgáljanak.

Legyen $I\subseteq R$ egy ideál, és tegyük fel, hogy $I$ előáll véges sok primér ideál, mondjuk $Q_{1},\ldots ,Q_{m}$ metszeteként:

$I=\bigcap _{i=1}^{m}Q_{i}$.

Egy ilyen felírást irredundáns felbontásnak nevezünk, ha a metszetből semelyik $Q_{i}$ nem hagyható el, és ${\sqrt {Q_{i}}}\neq {\sqrt {Q_{j}}}$, ha $i\neq j$.

A Lasker–Noether-tétel szerint egy $R$ Noether-gyűrű bármely $I$ ideáljának van irredundáns felbontása primér ideálok metszeteként, továbbá $m$ értéke illetve a $\{{\sqrt {Q_{i}}}:1\leq i\leq n\}$ halmaz minden ilyen felbontásnál azonos.

Az algebrai geometria szempontjából a tétel a következő módon írható le. Legyen $R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ a $k$ test feletti $n$ változós polinomok gyűrűje. Ekkor $R$ Noether-gyűrű Hilbert bázistétele értelmében. Legyen $I\subseteq R$ egy ideál, és tekintsük az $I$-beli polinomok közös zérushelyeit $k^{n}$-ben:

$V(I)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:\forall f\in I:f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}$.

A $k^{n}$ ilyen módon előálló részhalmazait affin algebrai halmazoknak nevezzük. Legyen $I=\bigcap _{i=1}^{m}Q_{i}$ egy irredundáns primér felbontás; ekkor $V(I)$ felbomlik a $V(Q_{i})$ affin algebrai halmazok uniójára:

$V(I)=\bigcap _{i=1}^{m}V(Q_{i})$.

A $V(Q_{i})$ halmazok irreducibilisek a Zariski-topológiában, azaz nem írhatók fel affin algebrai halmazok nemtriviális uniójaként.

Lásd még

• Homologikus algebra
• K-elmélet

Források

• ↑ Atiyah–Macdonald: Michael Atiyah – Ian G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley Publishing. 1969. ISBN 0-201-00361-9  
• ↑ Eisenbud: David Eisenbud: Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry. New York: Springer-Verlag. = Graduate Texts in Mathematics, 150. ISBN 978-0-387-94268-1  
• ↑ Goldhaber–Ehrlich: Jacob K. Goldhaber – Gertrude Ehrlich: Algebra. London: The Macmillan Company. 1971.  
• ↑ Hilbert: Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen 36 (4): 473–534, ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01208503
• ↑ Pelikán: Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• ↑ Stacks: A Stacks project szerzői: The Stacks project. stacks.math.columbia.edu (2021)
• ↑ Vakil: Ravi Vakil: The Rising Sea. (angolul) 2017.  
• ↑ Zábrádi 2020: Zábrádi Gergely: Algebrai számelmélet jegyzet. (magyarul) 2020.  

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Commutative algebra című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Primary decomposition című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.