Ortogonális polinomok konstrukciója
szerkesztés
Adva legyen az [a,b ] intervallum, és egy rajta értelmezett
ϱ
(
x
)
{\displaystyle \varrho (x)}
P
n
∈
R
[
X
]
{\displaystyle P_{n}\in \mathbb {R} [X]}
∫
a
b
ϱ
(
x
)
P
n
(
x
)
P
m
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\varrho (x)\,P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=0}
ortogonalitási relációt minden
m
,
n
∈
N
0
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} _{0}}
m
≠
n
{\displaystyle m\neq n}
Az
I
=
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle I=[-1,1]}
ϱ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \varrho (x)=1}
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x^{n})_{n\in \mathbb {N} }}
P
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle P_{n}(1)=1}
Legendre-differenciálegyenlet
szerkesztés
A
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
(
1
−
x
2
)
f
″
−
2
x
f
′
+
n
(
n
+
1
)
f
=
0
,
n
∈
N
0
,
{\displaystyle (1-x^{2})\,f''-2x\,f'+n(n+1)\,f=0,\quad n\in \mathbb {N} _{0},}
amelynek ekvivalens alakja
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
f
′
(
x
)
]
+
n
(
n
+
1
)
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,f'(x)\right]+n(n+1)\,f(x)=0}
A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja
f
(
x
)
=
A
P
n
(
x
)
+
B
Q
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=A\,P_{n}(x)+B\,Q_{n}(x)}
ahol
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
Q
n
(
x
)
{\displaystyle Q_{n}(x)}
Teljes ortogonális rendszer
szerkesztés
A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)g(x){\rm {d}}x}
V
:=
L
2
(
[
−
1
,
1
]
;
R
)
{\displaystyle V:=L^{2}([-1,1];\mathbb {R} )}
Az ortogonalitás azt jelenti, hogy
⟨
P
n
,
P
m
⟩
=
0
{\displaystyle \langle P_{n},P_{m}\rangle =0}
m
≠
n
{\displaystyle m\neq n}
∫
−
1
1
P
n
(
x
)
P
m
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
n
m
{\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx\,=\,{\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}}
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{nm}}
A teljesség azt jelenti, hogy minden
f
∈
V
{\displaystyle f\in V}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\,P_{n}(x)}
a
c
n
=
2
n
+
1
2
∫
−
1
1
f
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {2\,n+1}{2}}\,\int \limits _{-1}^{1}f(x)\,P_{n}(x)\,{\rm {d}}x}
A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:
∑
n
=
0
∞
2
n
+
1
2
P
n
(
x
′
)
P
n
(
x
)
=
δ
(
x
′
−
x
)
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2\,n+1}{2}}\,P_{n}(x')\,P_{n}(x)=\delta (x'-x),}
ahol
δ
{\displaystyle \delta }
Minden
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
(
1
−
2
x
z
+
z
2
)
−
1
/
2
=
∑
n
=
0
∞
P
n
(
x
)
z
n
.
{\displaystyle (1-2xz+z^{2})^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)z^{n}\ .}
Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1.
Mindezek miatt a
z
↦
(
1
−
2
x
z
+
z
2
)
−
1
/
2
{\displaystyle z\mapsto (1-2xz+z^{2})^{-1/2}}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
⋅
d
n
d
x
n
[
(
x
2
−
1
)
n
]
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}
P
n
(
x
)
=
(
2
n
)
!
2
n
(
n
!
)
2
[
x
n
−
n
(
n
−
1
)
2
⋅
(
2
n
−
1
)
x
n
−
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
2
⋅
4
⋅
(
2
n
−
1
)
(
2
n
−
3
)
x
n
−
4
∓
⋯
]
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \cdots \right]}
Előállítás integrálként
szerkesztés
Minden
x
∈
C
∖
{
+
1
,
−
1
}
{\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{+1,-1\}}
P
n
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
[
x
+
x
2
−
1
cos
φ
]
n
d
φ
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi }
A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
(
n
=
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2,\ldots )}
(
x
2
−
1
)
d
d
x
P
n
(
x
)
=
n
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle (x^{2}-1){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}(x)=nxP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:
n
P
n
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
x
P
n
−
1
(
x
)
−
(
n
−
1
)
P
n
−
2
(
x
)
(
n
=
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=2,3,\ldots )}
Differenciálással
y
′
=
n
x
n
−
1
=
n
x
−
1
y
{\displaystyle y'=nx^{n-1}=nx^{-1}y}
y
(
m
)
=
(
n
−
m
+
1
)
x
−
1
y
(
m
−
1
)
{\displaystyle y^{(m)}=(n-m+1)x^{-1}y^{(m-1)}}
Így adódik az a rekurzió, amely magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:
(
n
−
m
)
P
n
(
m
)
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
x
P
n
−
1
(
m
)
(
x
)
−
(
n
−
1
+
m
)
P
n
−
2
(
m
)
(
x
)
(
n
,
m
=
0
,
1
,
…
)
{\displaystyle (n-m)P_{n}^{(m)}(x)=(2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n,m=0,1,\ldots )}
A kezdeti feltételek
P
m
(
m
)
(
x
)
=
(
2
m
)
!
2
m
m
!
{\displaystyle P_{m}^{(m)}(x)={(2m)! \over 2^{m}m!}}
P
m
+
1
(
m
)
(
x
)
=
(
2
m
+
1
)
!
2
m
m
!
{\displaystyle P_{m+1}^{(m)}(x)={(2m+1)! \over 2^{m}m!}}
m
=
0
{\displaystyle m=0}
Aszimptotikus formulák
szerkesztés
A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:
P
n
(
cos
θ
)
∼
2
π
n
sin
θ
sin
(
(
n
+
1
2
)
θ
+
π
4
)
,
{\displaystyle P_{n}\left({\cos \theta }\right)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi n\sin \theta }}}\sin \left({\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\theta +{\frac {\pi }{4}}}\right),}
P
n
(
cosh
θ
)
∼
2
π
n
sinh
θ
sinh
(
(
n
+
1
2
)
θ
)
,
{\displaystyle P_{n}\left({\cosh \theta }\right)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi n\sinh \theta }}}\sinh \left({\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\theta }\right),}
amint
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
θ
>
0
{\displaystyle \theta >0}
Az első Legendre-polinomok
szerkesztés
Másodfajú Legendre-függvények
szerkesztés
A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva
Q
0
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
=
a
r
t
a
n
h
(
x
)
{\displaystyle Q_{0}(x)={\frac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)={\rm {artanh}}(x)}
Q
1
(
x
)
=
x
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
−
1
=
x
a
r
t
a
n
h
(
x
)
−
1
{\displaystyle Q_{1}(x)={\frac {x}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-1=x\,{\rm {artanh}}(x)-1}
Q
2
(
x
)
=
3
x
2
−
1
4
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
−
3
x
2
{\displaystyle Q_{2}(x)={\frac {3\,x^{2}-1}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-{\frac {3\,x}{2}}}
Q
3
(
x
)
=
5
x
3
−
3
x
4
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
−
5
x
2
2
+
2
3
{\displaystyle Q_{3}(x)={\frac {5\,x^{3}-3\,x}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-{\frac {5\,x^{2}}{2}}+{\frac {2}{3}}}
Abramowitz, M. ; Stegun, I. A. eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . Dover. (V. cap. 8 e cap. 22 .)
Byerly, WE (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics
Todhunter, I. (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions [halott link
Heine, E. (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte)
Heine, E. (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte)
I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik - Table of Integrals, Series and Products , Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press, ISBN 0-12-294757-6 .
Rogai, E. - Tabele şi formule matematice , Editura Tehnică, Bukarest, 1984 
![{\displaystyle P_{n}\in \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee840442661e2d073eadbb276082fbb8b4b361e9)
![{\displaystyle I=[-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edb704e6cad4f0d3828511af70f70be8861ccab)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,f'(x)\right]+n(n+1)\,f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7124ea8382c2f37324871adec3984dbf217832a)
![{\displaystyle V:=L^{2}([-1,1];\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb95919b12ba38e52bb364a5093cc0b0364657d)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff8cbc40bd2b6fe23bee919076e11a5fc0b65fc)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b209d320448f020ee57e410756f03e064c44b57)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfd6ac09cbd19b4f9a050e77633ffcd557cef14)
