Lindemann–Weierstrass-tétel

A Lindemann–Weierstrass tétel kimondja, hogy az Euler-féle szám, más néven az e szám transzcendens. A tétel bizonyítható az e szám irracionális voltának bizonyításához hasonló módon.

Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy $\alpha ={\frac {v+\delta }{u}}.$

Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak.

A tétel bizonyítása szimultán approximálja az e számot és annak pozitív egész kitevős hatványait, az irracionalitás bizonyításához hasonló ellentmondásra jut az e szám minimálpolinomjával kapcsolatban.

A bizonyítás vázlata

• Feltesszük indirekt, hogy az e szám algebrai, és minimálpolinomját jelöljük t-vel:

$t=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\dots +c_{m}x^{m}$,

ahol $c_{0}$ és $c_{m}$ egyike sem nulla, hiszen t irreducibilis.

• Szimultán erősen approximáljuk az e szám hatványait, vagyis adott ε-hoz keresünk $u,u_{1},u_{2},\dots ,u_{m}$ egészeket, hogy

$e^{k}={\frac {u_{k}+\varepsilon _{k}}{u}}$

minden 1 ≤ k ≤ m -re.

• Az approximáció eredményét behelyettesítve

$0=t(e)=c_{0}+c_{1}{\frac {u_{1}+\varepsilon ^{1}}{u}}+c_{2}{\frac {u_{2}+\varepsilon ^{2}}{u}}+\dots +c_{m}{\frac {u_{m}+\varepsilon ^{m}}{u}}$

Átrendezve

$(c_{0}u+c_{1}u_{1}+\dots +c_{m}u_{m})+(c_{1}\varepsilon ^{1}+c_{2}\varepsilon ^{2}+\dots +c_{m}\varepsilon ^{m})=0.$

• Az így kapott összeg első tagja egész. Elég azt belátnunk, hogy a második tag abszolút értékben ${\frac {1}{2}}$-nél kisebb. Ellentmondás.

Lemmák

1. Minden k ≥ 0 egészhez vannak g_k és h_k polinomok, hogy

$\int _{0}^{r}x^{k}e^{-x}\operatorname {d} x=k!-e^{-r}g_{k}(x)$

és

$\int _{0}^{r}(x-r)^{k}e^{-x}\operatorname {d} x=h_{k}(r)-k!e^{-r}$.

2. Minden f(x) polinomhoz egyértelműen van egy u valós szám és egy g(x) polinom, hogy

$\int _{0}^{r}f(x)e^{-x}\operatorname {d} x=u-e^{-r}g(r)$

minden valós r számra.

3. Legyen az f(x) polinom a következő:

$f={\frac {x^{p-1}}{(p-1)!}}(x-1)^{p}(x-2)^{p}\dots (x-m)^{p}$.

Jelölje ezután u és g(x) a 2. lemma szerint az ehhez az f(x)-hez tartozó u-t és g(x)-et! Legyen továbbá u_r=g(r) és $\varepsilon _{r}=<\int _{0}^{r}f(x)e^{-x}\operatorname {d} x$!

Ezekkel a jelölésekkel ha átírjuk az f(x) polinomot (x-r) hatványai szerint:

$f={\frac {1}{(p-1)!}}(d_{0}(r)+d_{1}(r)(x-r)+\dots d_{n}(x-r)^{n})$

akkor d₀(r)=d₁(r)=…=0.

4. (a) Az u szám egész, és nincs m-nél nagyobb prímosztója.

(b) Az u₁, …, u_m egészek mind oszthatók p-vel.

5. A fent definiált f polinomra

$\lim _{p\rightarrow \infty }\int _{0}^{r}f(x)e^{-x}\operatorname {d} x=0$.

A tétel bizonyítása

Feltesszük indirekt, hogy e algebrai, és minimálpolinomja

$t=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\dots +c_{m}x^{m}$.

A $(c_{0}u+c_{1}u_{1}+\dots +c_{m}u_{m})+(c_{1}\varepsilon ^{1}+c_{2}\varepsilon ^{2}+\dots +c_{m}\varepsilon ^{m})=0.$

polinomhoz a 2. lemma szerint elkészítjük az u számot és a g polinomot. A 3. lemma miatt $g(r)=pg_{1}(r)$, ahol p az f-hez használt prím, továbbá

$\varepsilon _{r}=\int _{0}^{r}f(x)e^{-x}\operatorname {d} x=u-e^{-r}g(r)=u-e^{-r}u_{r}$,

ahonnan

$e^{r}={\frac {u_{r}+\varepsilon _{r}}{u}}$,

ezzel kész a szimultán erős approximáció.

A minimálpolinomba visszahelyettesítve

$0=t(e)=c_{0}+c_{1}{\frac {u_{1}+\varepsilon ^{1}}{u}}+c_{2}{\frac {u_{2}+\varepsilon ^{2}}{u}}+\dots +c_{m}{\frac {u_{m}+\varepsilon ^{m}}{u}}$

Ha most p > m, akkor a 4. lemma szerint p nem lehet osztója az u egész számnak. Ha p még c₀-nál is nagyobb, akkor c₀u sem lehet osztható p-vel, így a c₀u+c₁u₁+...+c_mu_m egész számnak sem osztója, tehát ez az összeg nem lehet nulla. Az 5. lemma alapján az c₁ε₁+...+c_mε_m összeg abszolút értéke viszont 1/2-nél kisebb, ezért az összeg nem lehet nulla. Ellentmondás.

Források

• Szeged
• Freud-Gyarmati: Számelmélet