Lineáris törtfüggvények

Lineáris törtfüggvénynek nevezik a komplex függvénytanban az ${\frac {az+b}{cz+d}}$ alakú függvényeket, ahol $ad-bc\neq 0$, és a,b,c,d komplex számok. Az elemi matematikában (annak valós függvénytan c. részében) az a,b,c,d együtthatók valós számok.

A komplex számsíkon értelmezett lineáris törtfüggvények regulárisak és kölcsönösen egyértelműek. A kétszer kettes komplex mátrixok csoportjával izomorf háromszorosan tranzitív csoportot alkotnak a kompozícióra.

Csoport

A csoportművelet a kompozíció. Az egységelem az identitás. A ${\frac {az+b}{cz+d}}$ lineáris törtfüggvény inverze a ${\frac {dz-b}{-cz+a}}$ lineáris törtfüggvény. A csoportot generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az ${\frac {1}{z}}$ függvény:

${\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}(z+{\frac {d}{c}})}}+{\frac {a}{c}}$

Projektív szemlélet

A lineáris törtfüggvények a komplex projektív egyenes kettősviszonytartó transzformációinak tekinthetők. Így bizonyíthatók a következő tulajdonságok:

• A csoport háromszorosan tranzitív
• Csak az identitás hagy helyben három pontot
• Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes

Legyen egy pontpár egyenesre szimmetrikus, ha tükörképek, és körre szimmetrikus, ha egymás inverz képe.

• Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus

További tulajdonságok

• Körbelsőt vagy félsíkot körbelsőre, körkülsőre, vagy félsíkra képeznek
  • Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.
• Körlap vagy félsík körlapra való reguláris és kölcsönösen egyértelmű leképezése lineáris törtfüggvény

Bizonyítások

Háromszoros tranzitivitás

Tétel: A lineáris függvények csoportja háromszorosan tranzitív.

Definíció: Négy komplex szám, $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ kettősviszonya a $(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{4}}}:{\frac {z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{4}}}$ hányados.

Bizonyítás: Jelölje $S(z)$ a $(z,z_{2},z_{3},z_{4})$ kettősviszonyt. Legyen továbbá $S(z_{2})=1,$ $S(z_{3})=0,$ $S(z_{4})=\infty$. Ekkor $S(z)$ lineáris transzformáció.

Hasonlóan, legyen $S_{1}(w)$ a $(w,w_{2},w_{3},w_{4})$ kettősviszony. Legyen továbbá $S_{1}(w_{2})=1,$ $S_{1}(w_{3})=0,$ $S(w_{4})=\infty$. Ekkor $S_{1}(w)$ is lineáris transzformáció.

Tekintsük az $S_{1}^{-1}\circ S$ transzformációt. Ez lineáris függvény, és az adott $z_{i}$ pontokat az adott $w_{i}$ pontokba viszi.

Kör vagy egyenes képe

Tétel: Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes.

Bizonyítás: A lineáris törtfüggvények csoportját generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az ${\frac {1}{z}}$ függvény. Ezek a függvények kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át, ugyanis az eltolások, forgatások és nyújtások hasonlósági transzformációk, az ${\frac {1}{z}}$ függvény meg az invertálás konjugáltja, ezek pedig szintén kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át.

Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe

Tétel: Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus.

Bizonyítás: Jelöljön $P$ és $P^{1}$ egy szimmetrikus pontpárt. Tekintsük a szimmetria alapkörét vagy tengelyét. A $P$ pontot tartalmazó egyenesek és körök, amelyek merőlegesen metszik az alapkört vagy a tengelyt, még egy közös ponttal bírnak: $P^{1}$-gyel. A lineáris függvény szögtartó a kölcsönös egyértelműség és a regularitás miatt, ezért a $P,P^{1}$ pontpár képére ugyanezek az illeszkedési tulajdonságok teljesülnek. Így szimmetrikus pontpár képe szimmetrikus pontpár.

Irányítás és a körbelső képe

Tétel: Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.

Bizonyítás: Legyen $\gamma$ pozitív irányítású körvonal. Vegyünk $\gamma$ belsejében egy tetszőleges $w$ pontot. Jelölje $T(z)$ a lineáris törtfüggvényt, és tegyük fel, hogy a $\gamma$ körvonal $T(\gamma )$ képe körvonal.

Ha $\gamma$ belseje $T(\gamma )$ belsejébe képződik le, akkor $T(z)=w$ egy, a $\gamma$ körvonal belsejében levő $z$ pontra, és $T(z)$-nek nincs pólusa a kör belsejében. Az argumentumelv szerint $T(\gamma )$ körülfordulási száma a tetszőleges $w$-re 1.

Ha $\gamma$ belseje $T(\gamma )$ külsejébe képződik le, akkor $T(z)\neq w$ minden, a $\gamma$ körvonal belsejében fekvő $z$ pontra, és a $T(z)$ lineáris törtfüggvénynek van egy pólusa. Az argumentumelv szerint $T(\gamma )$ körülfordulási száma a tetszőleges $w$-re -1.

Körök és félsíkok kölcsönösen egyértelmű reguláris leképezései

Tétel: Körlap vagy félsík csak lineáris törtfüggvénnyel képezhető le körlapra vagy félsíkra kölcsönösen egyértelmű és reguláris módon.

Bizonyítás: Legyen $z_{0}$ tetszőleges pont a körlapon vagy a félsíkon. Mindkét kört vagy félsíkot képezzük az egységkörre lineáris törtfüggvénnyel úgy, hogy $z_{0}$ és képe 0-ba menjen. Feltehető tehát, hogy $f(z)=w$ az egységkört önmagára képezi le, és a nulla képe nulla.

A Schwarz-lemmával:

$|w|=|f(z)|\leq |z|$ és $|z|=|f^{-1}(w)|\leq |w|,$

és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $f(z)=\varrho z.$

Források

Halász Gábor: Komplex függvénytan