Lipschitz-tulajdonság

Azt mondjuk, hogy az $f$ valós-valós függvény teljesíti a Lipschitz-tulajdonságot (vagy Lipschitz-folytonos, vagy a matematikus argóban lipschitzes), ha létezik olyan $L$ nemnegatív valós szám, amelyre az $f$ függvény értelmezési tartományában lévő minden $x$ és $y$ pontra fennáll az

$\left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq L\cdot \left\vert x-y\right\vert$

egyenlőtlenség.

Lényegében ez azt jelenti, hogy a függvény görbéjének két tetszőleges pontjához húzott szelő nem lehet akármilyen nagy meredekségű, csak $L$ és $-L$ közötti érték. A függvény tehát nem változhat akármilyen nagyot.

A differenciálegyenletek elméletében a Lipschitz-folytonosság a központi feltétel a Picard–Lindelöf-tételhez, mely a kezdetiérték-probléma megoldásának egyértelmű létezését biztosítja. Egy speciális típusú lipschitzesség, a kontrakció $(L<1)$ tulajdonsága fontos szerepet játszik Banach fixponttételében. A Riemann-integrál elméletében az integrálfüggvény karakterisztikus tulajdonságai közül az egyik, hogy az integrálfüggvény Lipschitz-függvény.^[forrás?]

A Lipschitz-tulajdonság definiálható mind a normált, mind a metrikus terekben. A Lipschitz-függvények elsőrendű Hölder-függvények, így a Hölder-folytonosság a fogalom egy általánosításának tekinthető.

Tulajdonságok

Minden korlátos deriváltú, differenciálható függvény Lipschitz-függvény ( $sup|f'|$ alkalmas Lipschitz-konstansnak).

Minden $f$ Lipschitz-tulajdonságú függvény egyenletesen folytonos (így tehát folytonos is), hiszen tetszőleges $\varepsilon$ pozitív számra a $\delta :=\varepsilon /L$ olyan, hogy ha $|x-y|<\delta$, akkor:

$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|<L\cdot {\frac {\varepsilon }{L}}=\varepsilon$.

Visszafelé ez nem igaz. A $[0,1]$ intervallumon értelmezett $x\mapsto {\sqrt {x}}$ függvény ugyanis egyenletesen folytonos Heine-tétel értelmében, de nem lipschitzes, mert a deriváltja – így a szelők meredeksége – akármilyen nagy lehet.

Injektív minden bilipschitzes függvény, azaz olyan függvény, melyre teljesül, hogy létezik $1\leq L$ szám, amivel:

$L^{-1}\cdot |x-y|\leq |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|$.

Hiszen ha $x\neq y$, és $f(x)$ mégis egyenlő $f(y)$-nal, akkor az egyenlőtlenség miatt $L^{-1}\cdot |x-y|\leq 0\leq L\cdot |x-y|$ és ezt csak az $|x-y|=0$ tudja kielégíteni, ami ellentmondás.

Kompakt halmazon értelmezett lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény (globálisan) Lipschitz-tulajdonságú. (Itt lokálisan lipschitzességen azt értjük, hogy minden pontnak van olyan környezete, ahol a függvény lipschitzes.)

Ha az $f$ egy $L$ Lipschitz-konstansú függvény a (metrikus-, normált-)tér egy részhalmazán van értelmezve, akkor $f$ kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy a kiterjesztés még mindig $L$ Lipschitz-konstansú legyen. Speciálisan az $f$ értelmezési tartományának lezártjára is kiterjeszthető, ahogy az egyenletesen folytonos függvényekre vonatkozó hasonló tételben is ez történik.

Lebesgue tétele szerint minden intervallumon értelmezett valós-valós Lipschitz-függvény majdnem mindenhol differenciálható. Ennek egy általánosítása, hogy tetszőleges, nyílt halmazon értelmezett többváltozós, valós értékű függvény szintén majdnem mindenhol differenciálható – ez Rademacher tétele.

Irodalom

Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis 1., ELTE jegyzet

Külső hivatkozások

• PlanetMath: Lipschitz function Archiválva 2007. szeptember 27-i dátummal a Wayback Machine-ben
• MathWorld: Lipschitz Function
• Encyclopaedia of Mathematics: Lipschitz condition
• Juha Heinonen: Lectures on lipschitz analysis – PDF