Logaritmikus spirál

A logaritmikus spirál a spirális síkgörbék egy fajtája, mely gyakran figyelhető meg a természetben. A logaritmikus spirált először Descartes írta le, majd később behatóan tanulmányozta Jakob Bernoulli, aki Spira mirabilisnak, vagyis „csodálatos spirál”nak nevezte.

Logaritmikus spirál (pitch 10°)

Egy nautilusz házának metszete, a kamrák hozzávetőlegesen a logaritmikus spirált követik

Magyarázó ábra

Alacsony nyomású terület felhőzete Izland felett logaritmikus spirál alakot vesz fel

A spirális galaxisok karjai gyakran logaritmikus spirál alakúak

A napraforgó magjai logaritmikus spirál mentén helyezkednek el

Közelítő logaritmikus spirál szerkesztése

Definíció és tulajdonságok

Polárkoordinátákkal felírva egyenlete:

$r=ae^{b\theta }\,$

vagy

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln \left({\frac {r}{a}}\right)$

innen származik a „logaritmikus” név is. Paraméteres alakban a görbe egyenletrendszere:

$x(t)=r\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,$

$y(t)=r\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,$

ahol a és b valós szám.

Egy tetszőleges pontjába a pólusból húzott sugár és a ponthoz tartozó érintő által bezárt szög állandó:

$\psi =\operatorname {arccot} b\,$

A b paramétertől függ , hogy milyen gyorsan „tágul” a spirál és hogy melyik irányba csavarodik. Speciális esetben , ha a b = 0, a spirál a sugarú körré fajul. Ha a b paraméter végtelenhez tart, a spirál egyeneshez közelít.

A görbületi sugár:

$\rho =r{\sqrt {1+b^{2}}}$

A ${\overline {PT}}$ a spirál érintője P pontban:

${\overline {PT}}=r{\frac {\sqrt {1+b^{2}}}{b}}$

${\overline {OT}}={\frac {r}{b}}$

Az r polársugarú P és r₁ polársugarú P₁ pont közötti ívhossz:

${\widehat {PP_{1}}}=s={\frac {\sqrt {1+b^{2}}}{b}}(r-r_{1})$

Az OP₁P szektorterület:

$OP_{1}P={\frac {1}{4b}}(r^{2}-r_{1}^{2})$

A logaritmikus spirál evolutája egy, az eredeti görbével kongruens görbe, mely az eredetihez képest ${\frac {\pi }{2}}-{\frac {\ln b}{b}}$ szöggel elfordítva:

$r=ae^{b(\theta -{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\ln b}{b}})}$

Csodálatos spirál

A logaritmikus spirálnak a Spira mirabilis (latinul csodálatos spirál) nevet Jakob Bernoulli adta, mivel el volt ragadtatva a görbe egyedülálló matematikai tulajdonságaitól: a görbe méretei állandóan nőnek, de alakja változatlan marad bármely további csavarodással. Bernoulli kívánsága az volt, hogy sírkövére kerüljön fel ez a csodálatos görbe, de tévedésből egy arkhimédészi spirált véstek be. A logaritmikus spirál és az arkhimédészi spirál között a fő különbség az, hogy az utóbbinál a görbe minden fordulata közötti távolság állandó, a logaritmikus spirálnál azonban mértani sorozat szerint nő. Valószínűleg ez az oka annak, hogy több növekedéssel összefüggő természetes forma is logaritmikus spirál alakú, mint például a napraforgó magjainak elhelyezkedése a tányéron vagy az ammoniteszek háza, melyek mészkőbe ágyazva gyakori kövületek.

A logaritmikus spirálok önmagukkal hasonlók és önmagukkal kongruensek minden hasonlósági transzformációra. (Nagyításuk-kicsinyítésük ugyanazt eredményezi, mint elforgatásuk a pólus körül.) Nagyításuk $b^{2\pi }$ tényezővel az eredeti görbét adja. Szintén kongruensek evolutáikkal és evolvenseikkel.

Ha egy tetszőleges P ponttól a pólus felé haladunk a görbe mentén, a pólust csak végtelen sok fordulat után érhetjük el annak ellenére, hogy a pólustól való távolság véges ($r/\cos \alpha$). Ezt a tulajdonságát Evangelista Torricelli fedezte fel még a differenciálszámítás feltalálása előtt.

Logaritmikus spirál a természetben

Több természeti jelenségnél lehet logaritmikus spirálhoz közeli görbéket találni. Néhány példa:

• A sólyom röppályája, amikor zsákmányát megközelíti. A zsákmányra keringése közben mindig azonos szögben néz, és közben fokozatosan közelít a céljához.
• Rovar röppályájának alakja, amikor fényforrás felé közelít.
• Spirálgalaxis karjainak alakja. A mi galaxisunknak a tejútnak, valószínűleg négy spirálkarja van, mindegyik közelítőleg logaritmikus spirál alakú, melynél az érintő szöge $\alpha \backsimeq 12^{\circ }$. Általában más galaxisoknál ez a szög 10-40° közé esik.
• A trópusi ciklonok, például hurrikánok karjai.
• Sok biológiai struktúra, például a pókháló és a puhatestűek házai (az ammoniteszek és a heteromorf ammoniteszek megkövült házai jellemző példák). Ezekben az esetekben a magyarázat a következő: Kiindulás legyen bármely síkbeli szabálytalan F₀ alak. Nagyítsuk ezt fel tetszőleges szorzóval F₁-re és helyezzük el F₁ -et úgy, hogy az F₀ oldalát érintse. Most nagyítsuk fel ugyanazzal a szorzóval F₁-et és a kapott F₂-t helyezzük elé az előzőekhez hasonlóan F₁ oldalához érintve. Többször megismételve a fent leírt műveletet, közelítő logaritmikus spirál lesz az eredmény, melynél a spirál szöge az a szög lesz, mellyel a két szomszédos elem hajlik egymáshoz. Ezt a műveletet a szomszédos ábra egy általános négyszög példáján szemlélteti.

Irodalom

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Források

• Spiral mirabilis Archiválva 2007. július 15-i dátummal a Wayback Machine-ben Története és matematikája (angolul)
• Weisstein, Eric W.: Logaritmikus spirál (angol nyelven). Wolfram MathWorld