Wikipédia

Metszési szám (gráfelmélet)

A gráfelméletben egy G gráf cr(G)-vel jelölt metszési száma a G gráf összes síkbeli reprezentációja közül az élek metszéspontjainak lehetséges minimális száma. Egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható gráf, ha a metszési száma 0.

A Heawood-gráf egy síkba rajzolása három metszéssel. Ez a lehetséges legkisebb számú metszéspont a gráf összes lerajzolása közül, ezért a gráf metszési száma cr(G) = 3.

A metszési szám először Turán téglagyári problémája néven (Turán's brick factory problem) merült föl, melyben Turán Pál a Km,n teljes páros gráf metszési számára kérdez rá.[1]

A gráfok metszési számának meghatározása nagyon nehéz feladat, részben a lehetséges lerajzolások óriási száma és áttekinthetetlensége miatt. Precízen ezért csak nagyon kicsi vagy nagyon speciális gráfok metszési számát sikerült meghatározni.[2]

Története szerkesztés

A metszési szám vizsgálatát 1944-ben Turán Pál kezdeményezte egy gyakorlati probléma kapcsán. Munkaszolgálatosként téglával megrakott vasúti kocsikat kellett tologatniuk a kemencéktől a raktárépületekig. A komoly nehézséget a kereszteződések okozták. Ha n kemence és m raktárépület van, továbbá minden kemence és raktár között van sín, akkor a legjobb esetben   kereszteződés van.[2]

Zarankiewicz megpróbálkozott Turán téglagyári problémájának megoldásával;[3] bizonyításában volt egy hiba, de sikerült a Km,n teljes páros gráf metszési számára érvényes felső becslést adnia:

 

A sejtés, hogy ez az egyenlőtlenség valójában egyenlőség, Zarankiewicz-sejtés néven is ismert.

A teljes gráf metszési számának meghatározását először Anthony Hill vetette fel, írásban 1960-ban jelent meg.[4] Hill és társa, John Ernest konstruktivista művészek voltak, akik nem elégedtek meg a problémafelvetéssel, hanem egy Richard Guy által 1960-ban publikált dolgozatban sejtésüket is megfogalmazták a metszési szám felső határára.[4]

Richard K. Guy (1972) sejtése szerint a Kn teljes gráf metszési száma

 

Jelenleg mindkét probléma megoldatlan, néhány speciális eset kivételével; az alsó határok megadásában történt néhány előrelépés, ahogy Klerk et al. jelenti 2006-ban.[5]

A Michael O. Albertson által 2007-ben megfogalmazott Albertson-sejtés szerint az összes n kromatikus számú gráf közül a Kn teljes gráf rendelkezik a minimális metszési számmal. Tehát ha Richard Guy a teljes gráfok metszési számára vonatkozó sejtése igaz, minden n-kromatikus gráf metszési száma nagyobb vagy egyenlő a sejtésben szereplő képletnél. Jelenleg n ≤ 16-ra igazolt a sejtés érvényessége.[6]

Variációk szerkesztés

A metszési szám meghatározása megengedi, hogy a gráf éleit tetszőleges görbék jelöljék; az egyenes metszési szám (rectilinear crossing number) megköveteli, hogy az élek egyenes szakaszokként legyenek megrajzolva; értéke eltérhet a metszési számtól. Különösen, a teljes gráf egyenes metszési száma megegyezik az n általános helyzetű pontba rajzolható konvex négyszögek minimális számával, ami a Happy End-probléma közeli rokona.[7]

Komplexitás szerkesztés

Általánosan tekintve, egy gráf metszési számának meghatározása nehéz feladat, részben a lehetséges lerajzolások óriási száma és áttekinthetetlensége miatt. Precízen ezért csak nagyon kicsi vagy nagyon speciális gráfok metszési számát sikerült meghatározni.[2] Garey és Johnson 1983-ban megmutatták, hogy NP-teljes probléma.[8] Valójában ha a problémát korlátozzuk a 3-reguláris gráfokra, még úgy is NP-teljes marad.[9]

Általában viszonylag könnyű egy gráf legjobb lerajzolásának megsejtése, az alsó korlát bizonyítása, ami gondot okoz.[2] Legtöbbször sok lépésben, egyre kifinomultabb leszámlálásokon keresztül lehet közeledni a célhoz.[2][10][11][12][13]

A pozitív oldalt nézve, léteznek hatékony algoritmusok annak meghatározására, hogy a metszési szám kisebb-e egy k konstansnál – más szavakkal, a probléma az FPT-problémaosztályba (fixed-parameter tractable, rögzített paraméter mellett kezelhető) tartozik.[14]

Nagyobb k értékekre, pl. |V|/2 -re a feladat továbbra is nehéz marad. Korlátos fokszámú gráfok cr(G) értékének meghatározására léteznek hatékony közelítő algoritmusok.[15] A gyakorlatban heurisztikus algoritmusokat használnak, például egy egyszerű algoritmust, ami élek nélküli csúcspontokkal kezd, majd egyenként adja hozzá az új éleket olyan módon, hogy azok a lehető legkevesebbszer metsszék egymást. Ilyen algoritmust használ a Rectilinear Crossing Number[16] elosztott számítási projekt is.

3-reguláris gráfok metszési számai szerkesztés

 
A Tutte-féle 12-cage

Az 1 és 8 közötti metszési számokhoz tartozó legkisebb 3-reguláris gráfok ismertek (A110507 sorozat az OEIS-ben). Az 1 metszési számúak közül a legkisebb a K3,3 teljes páros gráf, 6 csúcsponttal. A legkisebb 2 metszési számú a Petersen-gráf, 10 csúcsponttal. A legkisebb 3 metszési számú 3-reguláris gráf a Heawood-gráf, 14 csúcsponttal. A legkisebb 4 metszési számú 3-reguláris gráf a Möbius–Kantor-gráf, 16 csúcsponttal. A legkisebb 5 metszési számú 3-reguláris gráf a Papposz-gráf, 18 csúcsponttal. A legkisebb 6 metszési számú 3-reguláris gráf a Desargues-gráf, 20 csúcsponttal. A négy darab 7 metszési számú 3-reguláris gráf közül egyik sem jól ismert, 22 csúcspontjuk van.[17] A legkisebb 8 metszési számú 3-reguláris gráf a McGee-gráf avagy (3,7)-cage gráf, 24 csúcsponttal.

Exoo 2009-es sejtése szerint a 11 metszési számú legkisebb 3-reguláris gráf a Coxeter-gráf, a 13 metszési számú pedig a Tutte–Coxeter-gráf a 170-esé pedig a Tutte 12-cage.[18][19]

A metszésiszám-egyenlőtlenség szerkesztés

Az igen hasznos metszésiszám-egyenlőtlenség, amit egymástól függetlenül fedezett fel Ajtai, Chvátal, Newborn és Szemerédi,[20] valamint Leighton,[21] a következőt állítja: ha egy G (irányítatlan, hurkok és többszörös élek nélküli) gráfra n csúccsal és e élszámmal igaz, hogy

 

akkor

 

A 29-es konstans az eddig ismert legjobb eredmény, Ackerman érte el[22] (a korábbi, 33,75-ös konstans, e > 7,5 n esetre Pach és Tóth eredménye;[23]); a 7-es konstans 4-re csökkenthető, de akkor a 33,75 helyére a gyengébb 64-es értéket kell írni.

Leightont a VLSI-tervezésben várható hasznosságuk motiválta a metszési számok tanulmányozásában. Később Székely[24] felismerte, hogy az egyenlőtlenség az illeszkedési geometria területén néhány fontos tétel igen egyszerű bizonyításához vezetett, pl. a Beck-tétel és a Szemerédi–Trotter-tétel esetében; Tamal Dey felhasználta a geometriai K-halmazok felső korlátainak bizonyításában is.[25]

Olyan gráfokra, melyek girthparamétere 2r-nél nagyobb és e ≥ 4n Pach, Spencer és Tóth[26] a következőre javította az egyenlőtlenséget:

 .

Források szerkesztés

  1. ↑ Turán, P. (1977). „A Note of Welcome”. J. Graph Theory 1, 7–9. o. DOI:10.1002/jgt.3190010105.  
  2. ↑ a b c d e Tóth Géza: Gráfok metszési számai és a k-halmaz probléma. Doktori disszertáció PDF
  3. ↑ Zarankiewicz, K. (1954). „On a Problem of P. Turán Concerning Graphs”. Fund. Math. 41, 137–145. o.  
  4. ↑ a b (1960) „A combinatorial problem”. Nabla (Bulletin of the Malayan Mathematical Society) 7, 68–72. o.  
  5. ↑ Klerk, E. de, Maharry, J., Pasechnik, D.V., Richter, B., & Salazar, G. (2006). Improved bounds for the crossing numbers of Km,n and Kn. Archiválva 2011. július 18-i dátummal a Wayback Machine-ben SIAM Journal on Discrete Mathematics 20(1), 189-202, 2006
  6. ↑ (2009) „Towards the Albertson Conjecture”. arXiv:0909.0413.  
  7. ↑ (1994) „The rectilinear crossing number of a complete graph and Sylvester's "four point problem" of geometric probability”. American Mathematical Monthly 101 (10), 939–943. o. DOI:10.2307/2975158.  
  8. ↑ Garey, M. R.; Johnson, D. S. (1983). „Crossing number is NP-complete”. SIAM J. Alg. Discr. Meth. 4, 312–316. o. DOI:10.1137/0604033. MathSciNet:0711340.  
  9. ↑ Hliněný, P. (2006). „Crossing number is hard for cubic graphs”. Journal of Combinatorial Theory, Series B 96 (4), 455–471. o. DOI:10.1016/j.jctb.2005.09.009. MathSciNet:2232384.  
  10. ↑ L. Lovász, K. Vesztergombi, U. Wagner, E. Welzl: Convex quadrilaterals and k-sets. In: Towards a theory of geometric graphs, Contemporary Math. 342 Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, 139–148.
  11. ↑ B. Abrego, S. Fernández-Merchant: A lower bound for the rectilinear crossing number, Graphs and Combin. 21 (2005), 293–300.
  12. ↑ J. Balogh, G. Salazar: k-sets, convex quadrilaterals, and the rectilinear crossing number of Kn, Discrete Comput. Geom. 35 (2006), 671–690.
  13. ↑ O. Aichholzer, J. García, D. Orden, P. Ramos: New lower bounds for the number of (≤ k)-edges and the rectilinear crossing number of Kn, arXiv:math.CO/0608610 v2, 2006.
  14. ↑ Grohe, M. (2005). „Computing crossing numbers in quadratic time”. J. Comput. System Sci. 68 (2), 285–302. o. DOI:10.1016/j.jcss.2003.07.008. MathSciNet:2059096.  ; (2007) „Proceedings of the 29th Annual ACM Symposium on Theory of Computing”, 382–390. o. DOI:10.1145/1250790.1250848.  
  15. ↑ (2003) „Improved Approximations of Crossings in Graph Drawings and VLSI Layout Areas”. SIAM J. Comput 32 (1), 231–252. o. DOI:10.1137/S0097539700373520.  
  16. ↑ Rectilinear Crossing Number on the Institute for Software Technology at Graz, University of Technology (2009).
  17. ↑ Weisstein, Eric W.: Graph Crossing Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  18. ↑ Exoo, G. "Rectilinear Drawings of Famous Graphs".
  19. ↑ Pegg, E. T. and Exoo, G. "Crossing Number Graphs." Mathematica J. 11, 2009.
  20. ↑ Ajtai, M.; Chvátal, V.; Newborn, M.; Szemerédi, E. (1982). „Crossing-free subgraphs”. Theory and Practice of Combinatorics 60: 9–12. MathSciNet:0806962. 
  21. ↑ Leighton, T.. Complexity Issues in VLSI, Foundations of Computing Series. Cambridge, MA: MIT Press (1983) 
  22. ↑ Ackerman, Eyal: On topological graphs with at most four crossings per edge, 2013. [2014. július 14-i dátummal az eredetiből archiválva].
  23. ↑ Pach, J.; Tóth, G. (1997). „Graphs drawn with few crossings per edge”. Combinatorica 17, 427–439. o. DOI:10.1007/BF01215922. MathSciNet:1606052.  
  24. ↑ Székely, L. A. (1997). „Crossing numbers and hard Erdős problems in discrete geometry”. Combinatorics, Probability and Computing 6, 353–358. o. DOI:10.1017/S0963548397002976. MathSciNet:1464571.  
  25. ↑ Dey, T. L. (1998). „Improved bounds for planar k-sets and related problems”. Discrete and Computational Geometry 19 (3), 373–382. o. DOI:10.1007/PL00009354. MathSciNet:1608878.  
  26. ↑ (2000) „New bounds on crossing numbers”. Discrete and Computational Geometry 24 (4), 623–644. o.  
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Metszési_szám_(gráfelmélet)&oldid=24318399”