n-test probléma

Az n-test probléma elvileg n darab gravitációsan kölcsönhatásban lévő test mozgásának vizsgálata. A gyakorlatban égitestek mozgásának megértése volt a cél, mint például a Nap, bolygók és látható csillagok mozgásai.

Először Isaac Newton foglalkozott az n-test problémával. Mivel a gravitáció felelős a bolygók és csillagok mozgásáért, Newton ezt a kölcsönhatást differenciálegyenletekben fejezte ki, a Principia (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) nevű művében. Newton igazolta, hogy gömbszimmetrikus testek úgy modellezhetők, hogy pontszerű tömegnek tekintjük őket. A 2-test problémát teljesen megoldották. N = 3 esetre létezik megoldás speciális esetekre. Általános megoldás első integrállal nem lehetséges a mai tudásunk szerint. (Első integrál olyan függvény, mely a hely- és sebességkoordináták között teremt kapcsolatot). Egy egzakt elméleti megoldás adható tetszőleges n-re Taylor-sorokkal, de a gyakorlatban ezeket a végtelen sorokat le kell csonkítani a közelítő megoldáshoz. Több numerikus integráláson alapuló megoldás is létezik, de ezek mind közelítő megoldások.

Az n-test probléma matematikai kifejezése

Az égi mechanikában, az általános n-test probléma egy kezdetiérték-probléma a közönséges differenciálegyenlet megoldásainak körében. Legyenek az összes kölcsönösen egymástól különböző j és k-ra a kezdeti értékek: $\mathbf {q} _{j}(0)$ a pozícióra, ${\dot {\mathbf {q} }}_{j}(0)$ a sebességre, n részecskére (j = 1,...,n), $\mathbf {q} _{j}(0)\neq \mathbf {q} _{k}(0)$ mellett, akkor a másodrendű rendszer megoldása:

$m_{j}{\ddot {\mathbf {q} }}_{j}=G\sum \limits _{k\neq j}{\frac {m_{j}m_{k}(\mathbf {q} _{k}-\mathbf {q} _{j})}{|\mathbf {q} _{k}-\mathbf {q} _{j}|^{3}}},j=1,\ldots ,n\qquad \qquad \qquad (1)$

ahol $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}$ állandók reprezentálják az n pontszerű tömegeket, $\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,\mathbf {q} _{n}$ a t időváltozó 3 dimenziós vektorfüggvényei, és G a gravitációs állandó. Ez az egyenlet Newton második mozgástörvénye, ahol az egyenlet bal oldala a részecskék tömeggyorsulása, a jobb oldal pedig a részecskékre ható erők szummája. Itt az erőkön gravitációs erőt kell érteni, melyek arányosak a tömeggel, és a tömegek közötti távolság négyzetével fordítva arányosak. n = 2 esetre a problémát teljesen megoldja a Johann Bernoulli-féle megoldás.

Általános megjegyzések a problémához

A fizikai irodalomban olvasható, hogy az n-test probléma megoldása lehetetlen. Ezt a kijelentést óvatosan kell kezelni, mert ez csak az első integrálos módszerre vonatkozik. Az n-test probléma 6$n$ változót tartalmaz, mivel minden részecskét három térbeli változó és három momentumváltozó jellemez. Az első integrálok (közönséges differenciálegyenletekre) olyan függvények, melyek állandók maradónak egy adott rendszer megoldás folyamán; az állandó a megoldástól függ. Más szóval az integrálok kapcsolatot teremtenek a rendszer változói között úgy, hogy minden skalárintegrál lehetővé teszi a rendszer dimenzióinak csökkentését egy egységgel. Ez csak akkor működik, ha az integrál algebrai függvény, és nem egy komplikált függvény a változók tekintetében. Ha az integrál transzcendens (transzcendens szám), akkor a csökkentés nem lehetséges.

Az n-test problémának 10 független algebrai integrálja van:

• 3, a tömegközpontra
• 3, lineáris momentumra
• 3, az impulzusmomentumra
• 1, az energiára

Ezek lehetővé teszik a változók számának csökkentését 6-ra.

Numerikus integrálás

Numerikus integrálás módszerével többféle megoldás létezik a pontosság és a sebesség függvényében. A legegyszerűbb integrátor, az Euler-módszer, az elsőrendű megoldás. Másodrendű módszer a békaugrás-integrálás, de van magasabb rendű megoldás is, mint a Runge–Kutta-módszer. A szimplektikus integrátor módszert is gyakran alkalmazzák.

Sundman megoldása a 3-test problémára

Karl Frithiof Sundman (1873–1949), finn matematikus.

Az n-test probléma általános megoldása

Karl Frithiof Sundman 3-test probléma megoldását lehet általánosítani, de figyelembe kell venni két akadályt:

1. Carl Ludwig Siegel (1896–1981) német matematikus kimutatta, hogy analitikusan nem lehet megoldani a 2-test esetnél az ütközéseket, ezért Sundman megoldását nem lehet általánosítani.
2. A szingularitások szerkezete igen komplikált.

Végül Sundman eredményére alapozva Qiudong Wang kínai-amerikai matematikus 1991-ben megoldotta a problémát, és általánosította Sundman 1912-es állítását. Mivel a szingularitások szerkezete nagyon komplikált, Wang teljesen elhagyta a szingularitások kérdését. Ennek a megközelítésnek a központja a transzformáció, mely egy új rendszerhez vezet, ahol az új rendszer tartománya $[0,\infty )$.

Az n-test probléma szingularitásai

Kétféle szingularitás lehetséges:

• Kettő vagy több test ütközése, ahol a testek pozíciói végtelenek maradnak. (Matematikai értelemben az ütközés itt azt jelenti, hogy két testnek azonos a pozíciója a térben.)
• Szingularitás, ahol ütközés nem fordulhat elő, de a testek pozíciói nem maradnak végtelenek. Ebben a szcenárióban a testek divergálnak a végtelen felé véges idő alatt, míg azonos időben a zéró elkülönüléshez tendálnak (képzetes ütközés a végtelenben történik).

Ez utóbbit „ütközésmentes szingularitásnak” hívják. Ezek létezést a Painlevé-féle sejtés említi.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a N-body problem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Diacu, F: The solution of the n-body Problem. (hely nélkül): The Mathematical Intelligencer. 1996. 66–70. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Numerikus integrálás
• Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
• Isaac Newton

További információk

• http://www.princeton.edu/~rvdb/JAVA/astro/galaxy/SolarSystem.html
• http://www.princeton.edu/~rvdb/JAVA/astro/galaxy/ThreeBody2.html
• http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problem
• http://astro.uszeged.hu/oktatas/csillagaszat/5_Egi_mechanika/egi_mechanika.htm#id2490323
• http://faculty.ifmo.ru/butikov/ManyBody.pdf
• http://faculty.ifmo.ru/butikov/Projects/Collection.html