Párhuzamos szelők tétele

A párhuzamos szelők tétele az elemi geometria egyik alapvető tétele. Azt mondja ki, hogy ha adott két egymást metsző egyenes és az egyiken két szakasz, és e szakaszok végpontjain át olyan párhuzamosokat húzunk, amelyek a másik egyenest metszik, akkor a második egyenesen keletkezett szakaszok hosszának aránya egyenlő az első egyenesen a nekik megfelelő szakaszok hosszának az arányával.^[1]

A tétel egzakt megfogalmazásai szerkesztés

Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok hosszának aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok hosszának arányával.
Legyen e és f két egymást metsző egyenes; metszéspontjukat jelölje A! Legyen továbbá B és D két A-tól különböző pont e-n, és legyen C és E két A-tól különböző pont f-en úgy, hogy a BC és DE egyenesek párhuzamosak! Ekkor

{\frac {|AD|}{|AB|}}={\frac {|AE|}{|AC|}}

(illetve, ha ez igaz, akkor és csak akkor

{\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AE|}{|EC|}}

is igaz)

Első helyzet
Második helyzet

Felfedezője szerkesztés

A párhuzamos szelők tételét Thalész fedezte fel az i.e. 6. században,^[2] és ezért a tételt egyes nyelveken (olasz, francia, spanyol, orosz, román) kis Thalész-tétel^[3] vagy Thalész első tétele^[4] néven említik. (A magyar szóhasználatban Thalész-tételként emlegetett állítás ezeken a nyelveken a nagy Thalész-tétel vagy Thalész második tétele.)

A tétel bizonyításával együtt szerepel Euklidész Elemek című könyvében.^[1]

Bizonyítás szerkesztés

Ha az arány irracionális, a tétel akkor is igaz és bizonyítható.

Egy bizonyítás szerkesztés

Háromszögterületes bizonyítás

${\frac {AD}{DB}}={\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{BDE_{\bigtriangleup }}}}$ , mert a háromszögek magassága (m) megegyezik, csak az alapjuk különbözik. Hasonlóan ${\frac {AE}{EC}}={\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{ECD_{\bigtriangleup }}}}$ . Viszont $T_{BDE_{\bigtriangleup }}=T_{ECD_{\bigtriangleup }}$ , mert alapjuk (|DE|) és magasságuk is megegyezik, tehát ${\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{BDE_{\bigtriangleup }}}}={\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{ECD_{\bigtriangleup }}}}$ , ebből következően ${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}$ , amit bizonyítani kellett.^[5]

A tétel megfordítása szerkesztés

A tétel megfordítása is igaz, vagyis ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat metsz ki, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

Bizonyítás szerkesztés

A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy ${\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AE|}{|EC|}}$ , de DE nem párhuzamos BC-vel. Húzzuk tehát be azt a h egyenest a B ponton keresztül, ami párhuzamos DE-vel! Legyen h és f metszéspontja C! A párhuzamosság miatt felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét: ${\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AE|}{|EC'|}}$ . A feltétellel összevetve ${\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|AE|}{|EC'|}}$ , tehát $|EC|=|EC'|$ , vagyis $C\equiv C'$ , így viszont a $DE{\mathcal {k}}BC$ , tehát a tétel megfordítása igaz.