Poligamma-függvény
Az m-ed rendű poligamma-függvény a gamma-függvény logaritmusának (m+1)-edik deriváltja: [1]
Itt:
a digamma-függvény, és a gamma-függvény. A függvényt gyakran trigamma-függvénynek is hívják.
Képlet integrállal szerkesztés
mely érvényes Re z >0 és m > 0 esetén. m = 0 esetén lásd digamma-függvény.
Rekurzív képlet szerkesztés
Multiplikációs elmélet szerkesztés
A multiplikációs elmélet szerint
esetén, és , ez a digamma-függvény:
Sorozattal kifejezve szerkesztés
mely m > 0, és bármely z komplex számra igaz, ha az nem negatív egész. Ez a kifejezés még kompaktabb módon írható le a Hurwitz zéta-függvénnyel:
Még egy sorozat létezik a poligamma-függvényre, mely Oscar Schlömilch (1823 – 1901) német matematikus munkája . Ezután, a gamma-függvény így is definiálható:
Taylor sor szerkesztés
A Taylor sor z=1 esetén
mely konvergál |z| < 1 felé. Itt ζ a Riemann zéta-függvény. Ezek a sorok felhasználhatók számos racionális zéta sor deriválására.
Jegyzetek szerkesztés
Források szerkesztés
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 978-0-486-61272-0