Legfontosabb redukciós formulák
szerkesztés
Trigonometrikus redukciós formulák
szerkesztés
∫
sin
n
x
d
x
=
(
n
−
1
)
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
−
1
n
sin
n
−
1
x
cos
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}xdx={\frac {(n-1)}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx-{\frac {1}{n}}\sin ^{n-1}x\,\cos x}
∫
cos
n
x
d
x
=
(
n
−
1
)
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
+
1
n
cos
n
−
1
x
sin
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}xdx={\frac {(n-1)}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx+{\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\,\sin x}
A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva :
∫
sin
n
−
1
x
(
−
cos
′
x
)
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
+
(
n
−
1
)
∫
sin
n
−
2
x
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n-1}x\,(-\cos 'x)\,dx=-\sin ^{n-1}x\,\cos x+(n-1)\int \sin ^{n-2}x\,\cos ^{2}x\,dx}
, ahol
∫
sin
n
−
2
x
cos
2
x
d
x
=
∫
sin
n
−
2
x
(
1
−
s
i
n
2
x
)
,
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n-2}x\,\cos ^{2}x\,dx=\int \sin ^{n-2}x\,(1-sin^{2}x),dx}
.
Visszaírva és, rendezve:
n
∫
sin
n
−
1
x
(
−
cos
′
x
)
d
x
=
(
n
−
1
)
∫
sin
n
−
2
x
d
x
−
sin
n
−
1
x
cos
x
{\displaystyle n\int \sin ^{n-1}x\,(-\cos 'x)\,dx=(n-1)\int \sin ^{n-2}x\,dx-\sin ^{n-1}x\,\cos x}
, ami már maga a redukciós formula.
∫
d
x
(
1
+
x
2
)
n
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}}
∫
d
x
(
1
+
x
2
)
n
=
1
2
n
−
2
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
+
2
n
−
3
2
n
−
2
∫
d
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}={\frac {1}{2n-2}}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2n-2}}\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}}
Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:
∫
d
x
(
1
+
x
2
)
n
=
∫
d
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
−
∫
x
2
(
1
+
x
2
)
n
d
x
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}=\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}-\int {\frac {x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx}
Parciálisan integrálva:
∫
x
2
(
1
+
x
2
)
n
d
x
=
1
2
n
−
2
[
−
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
+
∫
d
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
]
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx={\frac {1}{2n-2}}\left[{\frac {-x}{(1+x^{2})^{n-1}}}+\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}\right]}
, amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.
∫
x
n
e
a
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,dx}
Parciálisan integrálva kapjuk, hogy
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
[
a
x
n
e
a
x
−
n
∫
x
n
e
a
x
d
x
]
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}\left[{a}x^{n}e^{ax}-n\int x^{n}e^{ax}\,dx\right]}
Trigonometrikus helyettesítéseknél
szerkesztés
Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:
∫
0
π
/
2
sin
2
n
+
1
x
d
x
=
2
⋅
4
…
2
n
3
⋅
5
…
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2\cdot 4\ldots 2n}{3\cdot 5\ldots (2n+1)}}}
∫
0
π
/
2
sin
2
n
x
d
x
=
1
⋅
3
…
(
2
n
−
1
)
2
⋅
4
…
(
2
n
)
⋅
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\,dx={\frac {1\cdot 3\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\ldots (2n)}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}
Racionális törtfüggvények integrálásakor
szerkesztés
Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az
∫
d
x
(
x
2
+
1
)
n
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n}}}}
alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:
I
n
=
∫
a
b
d
x
1
+
x
2
{\displaystyle I_{n}=\int _{a}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}}
I
n
=
1
2
n
−
2
[
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
]
a
b
+
2
n
−
3
2
n
−
2
I
n
−
1
=
1
2
n
−
2
[
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
]
a
b
+
2
n
−
3
(
2
n
−
2
)
(
2
n
−
4
)
[
x
(
1
+
x
2
)
n
−
1
]
a
b
+
…
+
(
2
n
−
3
)
!
!
(
2
n
−
2
)
!
!
[
arc tg
x
]
a
b
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{2n-2}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+{\frac {2n-3}{2n-2}}I_{n-1}={\frac {1}{2n-2}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+{\frac {2n-3}{(2n-2)(2n-4)}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+\,\ldots \,+{\frac {(2n-3)!!}{(2n-2)!!}}{\Big [}{\text{arc tg }}x{\Big ]}_{a}^{b}}
Felhasználva, hogy
∫
0
∞
e
−
t
d
t
=
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1}
,
az idevágó redukciós formulából adódik, hogy
∫
0
∞
x
n
e
−
t
d
t
=
n
!
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-t}\,dt=n!}
.
A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy
Γ
(
x
)
=
(
x
−
1
)
Γ
(
x
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (x)=(x-1)\Gamma (x-1)}
.
Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967