A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.
Legyen tartomány, izolált pont -ben és holomorf. Ekkor minden pontnak van egy pontozott környezete, , ami relatív kompakt-ben, ahol holomorf. Ekkor Laurent-sorba fejthető -ban: , és ekkor reziduuma -ban
A fenti definíció kiterjeszthető a Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét diszkrét halmaz -ben és holomorf függvény. Ekkor minden mit -ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha , akkor a reziduumot a
helyettesítéssel definiáljuk, ahol egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.
Legyen tartomány, és holomorf függvény -ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt reziduuma -ban nulla.
Az integrálos ábrázolás szerint az differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.
Legyen test, és egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe fölött! Ekkor minden közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:
ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az -beli reziduumát.
Ha -racionális elem és lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha meromorf differenciálforma és lokális ábrázolás, és még
Laurent-sora -nek, akkor
Ez esetén megegyezik a függvénytani definícióval.
A reziduumtétel analógja is teljesül:
Minden meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:
A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8Online
John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF