Sík (geometria)

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a kétdimenziós síkgeometriában és a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom. Leírása, és nem definíciója szerint végtelenül kiterjedt, kétdimenziós objektum. Ha egy egy sík egy egyenes két pontját tartalmazza, akkor a sík a teljes egyenest tartalmazza.

A 3 koordinátasík

Konkrétabban a matematika különböző részterületei különböző objektumokat tekintenek síknak.

Definíciója

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

• Kétdimenziós objektum, azaz két, egymástól különböző irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
• Három nem kollineáris pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
• Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Önálló objektum

A legkisebb projektív sík (hét pont, hét egyenes)

A legkisebb affin sík (négy pont, hat egyenes)

Klasszikus síkfogalom

A klasszikus geometriában az (euklideszi) sík geometriai vizsgálatok tárgya, például abból a szempontból, hogy milyen alakzatok szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval. A sík (ebben az összefüggésben határozott névelővel, mint ami nincs magasabb dimenzióba ágyazva) a rajzlap absztrakciója, ami végtelenül lapos és végtelenül kiterjedt; ahogy az egyenes a ceruzával vagy más eszközzel meghúzott vonal végtelenül vékony és végtelenül hosszú absztrakciója. A modern geometriát a Hilbert-féle axiómarendszer írja le.

Descartes óta a sík azonosítható a valós számok rendezett párosaival, $\mathbb {R} ^{2}$-tel. Más szóval, $\mathbb {R} ^{2}$ a Hilbert-féle geometria modellje. Ezt a valós vektorteret is nevezik síknak.

Projektív sík

A projektív sík megkapható úgy, hogy egyeneseinek párhuzamos nyalábjaihoz hozzáveszünk egy-egy végtelen távoli pontot, és ezek halmazát a sík végtelen távoli egyenesének tekintjük.

Az így kapott projektív sík is leírható algebrailag: homogén valós számhármasokat veszünk. Itt a homogén szó azt jelenti, hogy ha egy számhármas minden tagját ugyanazzal a nullától különböző valós számmal szorozzuk, akkor az új hármas ugyanazt a pontot adja meg, mint a régi. Ugyanezek a hármasok írják le $\mathbb {R} ^{3}$ egydimenziós altereit; azaz a projektív sík pontjai azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő egyeneseivel. A projektív sík egyenesei hasonlóan azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő síkjaival.

Általánosítások

Ha gyengítjük a Hilbert-féle axiómákat, például lehetővé tesszük a végességet, akkor véges struktúrákhoz jutunk, melyeket affin vagy projektív síkoknak nevezünk. A legkisebb projektív sík hét pontot és hét egyenest tartalmaz. Tetszőleges egyenes és annak pontjainak eltávolításával affin síkhoz jutunk, négy ponttal és hat egyenessel.

A Descartes-féle modell általánosításában ahelyett, hogy a valós számokkal koordinátáznánk a síkot, egy tetszőleges $K$ testet használunk. Így jutunk a $K^{2}$ kétdimenziós vektorterekhez, melyek affin síkokat írnak le. A $K^{3}$ affin terek segítségével pedig projektív síkok írhatók le. Azonban belátható, hogy nem minden projektív sík írható le ezzel a módszerrel.

Ha $K=\mathbb {C}$, akkor meg kell jegyeznünk, hogy a komplex számok valós értelemben már maguk kétdimenziós teret alkotnak. Így a komplex egyenes kétdimenziós, a komplex sík négydimenziós, azonban csak kétdimenziós komplex vektortér. Ha $K$ véges, akkor véges síkokhoz jutunk. Ha például $K=\mathbb {F} _{2}$, akkor a fent leírt legkisebb projektív, illetve affin síkokhoz jutunk.

Topológiai értelemben a sík csak $K=\mathbb {R}$ esetén felület. A $K=\mathbb {C}$ esetben komplex felület.

Sík megadása az analitikus geometriában

A sík egyenlete

A sík paraméteres egyenlete

Két metsző sík

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Az egyenlet különböző alakokat ölthet, attól függően, hogy mely adatokból számították ki.

Legyen $(x_{0},y_{0},z_{0})$ a sík egy pontja és egy $(a,b,c)$ normálvektor. Ekkor a sík egyenlete:

$ax+by+cz=d$

ahol a d konstans a következőképpen adódik:

$d=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}$

A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

$\langle {\mathbf {(} x,y,z)},{\mathbf {(} a,b,c)}\rangle =d$

A tengelymetszeti egyenlet alakja:

${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}+{\frac {z}{z_{0}}}=1$

ahol $(x_{0},0,0)$, $(0,y_{0},0)$ és $(0,0,z_{0})$ a sík koordinátategelyekkel vett metszéspontjai. Ha a sík párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor az egyenletben nem szerepel az annak megfelelő koordinátát tartalmazó term.

A sík paraméteres egyenlete:

${\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$     $s,t\in \mathbb {R}$

alakú, ahol ${\vec {p}}$ támaszvektor, ${\vec {u}}$ és ${\vec {v}}$ irányvektorok. A ${\vec {p}}$ pont a sík tetszőleges pontja, ${\vec {u}}$ és ${\vec {v}}$ párhuzamosak a síkkal úgy, hogy nem konstansszorosai egymásnak. Az irányvektorok affin koordináta-rendszert feszítenek ki, amiben $(s,t)$ a sík pontjainak koordinátái.

A sík hárompontos egyenlete

${\vec {x}}={\vec {p}}+s({\vec {q}}-{\vec {p}})+t({\vec {r}}-{\vec {p}})$     $s,t\in \mathbb {R}$

alakú, ahol ${\vec {p}}$, ${\vec {q}}$ és ${\vec {r}}$ a sík egymástól különböző pontjai, melyek nincsenek egy egyenesen.

A sík normálegyenlete

$({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0$

alakú, ahol ${\vec {p}}$ a sík támaszvektora, és ${\vec {n}}$ normálvektor. A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a normálvektor merőleges a sík pontjának, mint normálvektornak és a támaszpont, mint helyvektornak különbségére. A sík feszítő vektoraira teljesül, hogy ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$.

A sík Hesse-féle normálegyenlete

${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d$

alakú, ahol ${\vec {n}}_{0}$ egységnyi hosszú, a sík irányába mutató normálvektor, és $d$ a sík távolsága az origótól.

Magasabb dimenziós terekben a sík lineáris 2-sokaság az $\mathbb {R} ^{n}$ $n$-dimenziós térben. A fenti implicit alakban adott egyenletek ezekben a terekben hipersíkokat írnak le. A síkok egyenletrendszere $n-2$ egyenletből álló egyenletrendszerrel írható le, mivel ennyi hipersík metszetéből áll elő. Ezeknek a hipersíkoknak egymástól független normálvektorai kellenek, hogy legyenek.

Metszéspontok háromdimenziós térben

Egyenes és sík metszete

Egyenes és sík metszete

A térben az egyeneseket rendszerint $(x(t),y(t),z(t))$ paraméterábrázolással, a síkokat $ax+by+cz=d$ egyenlettel írják le. Behelyettesítve az egyenes paraméteres ábrázolását a sík egyenletébe adódik az

$ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,$

lineáris egyenlet a metszéspont $t_{0}$ paraméterére. Ha az egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha az egyenletnek minden $t\in \mathbb {R}$ megoldása, akkor az egyenes a síkban van.

Három sík metszéspontja

Ha az egyenes két sík metszeteként van megadva, és keressük a metszéspontját egy síkkal, akkor három sík metszéspontját kell meghatározni.

Legyenek a síkok $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3$! Ha ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}$ normálvektoraik lineárisan függetlenek, akkor a metszéspont

${\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .$

A bizonyításhoz vegyük figyelembe, hogy ${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,$ és a skaláris szorzásra vonatkozó szabályokat.

Pont és sík távolsága

A ${\vec {p_{0}}}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ pont és az $ax+by+cz+d=0$ egyenletű sík távolsága:

${\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Ha a sík adott a ${\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})$, ${\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})$, ${\vec {p_{3}}}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ pontokkal, akkor a távolság számítható a

${\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})$

képlettel, ahol $\times$ jelöli a vektoriális szorzatot, $\cdot$ a skaláris szorzatot, és $\left|\quad \right|$ egy vektor hosszát. Alternatív módszerként el lehet végezni az

$a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}$

$b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}$

$c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}$

$d=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}$

helyettesítést.

Források

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter. Mathematik verstehen und anwenden. Springer (2011) 
• Lothar Papula. Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer (2009) 
• Thomas Westermann. Mathematik für Ingenieure. Springer (2008) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebene (Mathematik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebenengleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Lásd még

• Hilbert-féle axiómarendszer
• Koordinátageometria