Szabadelektron-modell

A szilárdtestfizikában a szabadelektron-modell egy egyszerű modell a fémes szilárdtestek kristályos szerkezetében a vezetési sáv működésének leírására. Eredetileg Arnold Sommerfeld fejlesztette ki ezt az elméletet, kombinálva a klasszikus Drude-modellt a kvantummechanika Fermi–Dirac-statisztikájával, ezért Drude–Sommerfeld-modellnek is hívják.

Alkalmazásai

A szabadelektron üresrács-közelítés elmélete alapozza meg az energiasávok modelljét, amely közel-szabadelektron modellként is ismert. Egyszerűségéből adódóan sikeresen magyaráz meg különféle kísérleti jelenségeket, mint például:

• a Wiedemann–Franz-törvény, mely az elektromos vezetőképességre és a termikus vezetőképességre vonatkozik,
• a hőkapacitás hőmérsékletfüggése,
• az elektronikus állapotsűrűség formái,
• energiaértékek tartománya,
• elektromos vezetőképesség,
• fémek termikus elektronemissziója.

Elképzelések és feltételezések

Ahogy a Drude-modellnél feltételezik, a vezetési elektronok teljesen le vannak csatolva az ionoktól (elektrongázt formálva). Mint egy ideális gázban, az elektron-elektron kölcsönhatást teljesen elhanyagolják. A fémeknél az elektrosztatikus mezők gyengék az árnyékoló hatás miatt. A kristályrácsot nem veszik explicit módon számításba. A kvantummechanikai igazolást a Bloch-tétel adja: egy nem kötött elektron periodikus potenciálban mozog, mint egy szabad elektron vákuumban, azzal a különbséggel, hogy m tömegét egy m* effektív tömeggel kell helyettesíteni, amely jelentősen eltérhet m-től. Még negatív effektív tömeg is alkalmazható az elektronlyukak általi vezetés leírására.

Az effektív tömeg a sávszerkezet számításaiból vezethető le.

Míg a statikus rács nem akadályozza az elektron mozgását, az elektronok szóródni képesek a szennyezések és a fononok miatt; e két kölcsönhatás határozza meg az elektromos és termikus vezetőképességet (a szupravezetés egy még jobban kidolgozott elméletet igényel, mint a szabadelektron-modell).

A Pauli-elv szerint minden egyes fázistérelem, (Δk)³(Δx)³ csak két elektront tartalmazhat (spinkvantumszámonként egyet). A rendelkezésre álló elektronállapotoknak ezt a megkötését a Fermi–Dirac-statisztika veszi figyelembe (lásd még Fermi-gáz). A szabadelektron-modell legfőbb jóslatai a Fermi–Dirac-elmélet Sommerfeld-kiterjesztéséből származtathatók, a Fermi-szintnek megfelelő energiáknál.

A szabad elektron energiája és hullámfüggvénye

Haladó síkhullám

Egy szabad részecske potenciálja $V(\mathbf {r} )=0$. A Schrödinger-egyenlet az ilyen részecskére, mint a szabad elektronra:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

A hullámfüggvény $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ szeparálható egy időfüggő és egy időfüggetlen egyenlet megoldásainak szorzatára. Az időfüggő egyenlet:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}$

$E=\hbar \omega$

energiával Az időfüggetlen egyenlet:

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

$\mathbf {k}$ hullámszámvektorral. $\Omega _{r}$ annak a térnek a térfogata, ahol az elektron található. Az elektron kinetikus energiája:

$E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$

A Schrödinger-egyenlet síkhullámmegoldása:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}$

A sziládtestfizikában és a kondenzált anyagok fizikájában a legfontosabb a $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ időfüggetlen megoldás. Ez az elektronikus sávszerkezet-modellek kiindulópontja, amelyet széles körben alkalmaznak a szilárdtestfizikában a modellek Hamilton-függvényének felépítésekor, mint például a közelszabad-elektron modellnél és a szoroskötés-modellnél, valamint más modelleknél, amelyek muffin-tin közelítést használnak. Ezen Hamilton-függvények sajátfüggvényei Bloch-állapotok, modulált síkhullámok.

Haladó síkhullámú megoldás

Az időfüggetlen stacionárius hullám és az időfüggő oszcillátor szorzata:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}$ megadja a haladóhullám-megoldást

$\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}$ mely a végleges megoldás a szabadelektron-hullámfunkcióra.

Síkhullámok

Források

• Albert Messiah: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40924-4  
• Stephen Gasiorowicz: Quantum Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1974. ISBN 0-471-29281-8  
• Eugen Merzbacher: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999.  
• C. Kittel: Introduction to Solid State Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999. ISBN 0-486-40924-4  

További információk

• http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/brillouin.htm Archiválva 2011. szeptember 13-i dátummal a Wayback Machine-ben
• http://phycomp.technion.ac.il/~nika/brillouin_zones.html Archiválva 2006. december 5-i dátummal a Wayback Machine-ben
• http://www.newscientist.com/article/mg18925351.300
• http://iopscience.iop.org/0143-0807/21/6/314/pdf/ej0614.pdf