Szignumfüggvény

A szignumfüggvény vagy előjelfüggvény egy elemi egyváltozós valós függvény, értéke a független változó negatív értékei esetén -1, pozitív értékei esetén +1, nullában pedig nulla.

A szignumfüggvény grafikonja

Lehetséges definíciói

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&{\mbox{ha }}x<0\\0,&{\mbox{ha }}x=0\\1,&{\mbox{ha }}x>0\end{cases}}$

vagy, az Iverson-féle zárójeles jelölést használva:

$\ \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]$.

esetleg a H(x) Heaviside-függvényt felhasználva:

$\operatorname {sgn}(x)=2H(x)-1.$

illetve az alsó egészrész és az abszulútérték függvények használatával:

$\operatorname {sgn} x={\Bigg \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Bigg \rfloor }-{\Bigg \lfloor }{\frac {-x}{|-x|+1}}{\Bigg \rfloor }$ .

Analitikus tulajdonságok

Folytonosság

A 0-t kivéve az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, 0-ban nem folytonos (nem megszüntethető szakadási hely) sem balról, sem jobbról.

Derivált

Deriváltja az x = 0 kivételével mindenütt 0, tehát

sgn'(x) = 0, ha x≠0,

tehát a szignumfüggvény deriváltja a konstans 0 függvénynek az ℝ\{0} halmazra való leszűkítése.

Azonban ha úgy tekintjük, hogy a deriváltfüggvény értékei a kibővített valós számok halmazából (ℝ∪{±∞}) is vehetnek fel értéket, akkor a 0 helyen is létezik a derivált éspedig értéke +∞ (mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞). Ezen kívül a differenciálhatóság hagyományos fogalmától eltérő értelemben szintén létezik a deriváltja. A derivált az úgy nevezett disztribúciók körében nem más mint a kétszeres Dirac-deltafüggvény, azaz a 2δ(x).

Integrál

Integrálja az abszolútérték-függvény:

$\int _{0}^{x}\operatorname {sgn}(x)dx=|x|$

Algebrai tulajdonságok

Alapvető tulajdonság, hogy bármely valós szám a szám abszolút értékének és előjelének a szorzata:

x = |x|·sgn(x) .

Ennélfogva, ha x ≠ 0, érvényes:

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}$, ha x ≠ 0.

Ezt az egyenlőséget mint definíciót elfogadva, lehetőség van a függvény nem nulla komplex számokra való értelmezésének.

Multiplikativitás

Multiplikatív („erős” értelemben), azaz tetszőleges x,y valós számokra:

sgn(x·y) = sgn(x)·sgn(y) .

Ha ugyanis x vagy y nulla, akkor és csak akkor sgn(x) vagy sgn(y) is nulla, s így sgn(xy) = sgn(0) = 0 = sgn(x)sgn(y). Egyébként sgn(xy) nem nulla, tehát 1 vagy -1. Akkor és csak akkor -1, ha xy negatív, azaz a tényezők előjele különbözik; azaz ha x>0 és y<0 - és ekkor sgn(x)sgn(y) = 1·(-1) = -1 = sgn(xy) - vagy ha x<0 és y>0, és ekkor sgn(x)sgn(y) = (-1)·1 = -1 = sgn(xy). Hasonlóan, sgn(xy) akkor és csak akkor 1, ha xy>0, azaz ha x és y előjele megegyezik, és ez esetben vagy mindkettő helyen +1-et vesz fel a függvény és így sgn(x)sgn(y) = 1·1 = 1 = sgn(xy), vagy mindkettő helyen -1-et, s így szintén sgn(x)sgn(y) = (-1)·(-1) = 1 = sgn(xy) .

Iteráció-invariancia

Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga:

sgn(x)<n> = sgn(x)  ha  n>0 .

Teljes indukcióval látható ez be: n=1-re az elsőrendű iteráció definíciója szerint sgn^<1>(x) = sgn(x); n=2-re pedig

sgn<2>(x) = sgn(sgn(x)) =  sgn(x)

teljesül, mert az x>0 esetben sgn(x)=1 és ekkor sgn(sgn(x))=sgn(1)=1=sgn(x); az x=0 esetben sgn(sgn(0))=sgn(0)=0=sgn(0), tehát most is sgn(sgn(x))=sgn(x); végül az x<0 esetben sgn(x)=-1 és ekkor sgn(sgn(x))=sgn(-1)=-1=sgn(x). Valamely n>1-re pedig ha igaz, hogy sgn^<n>(x) = sgn(x), akkor sgn^<n+1>(x) := sgn(sgn^<n>(x)) = sgn(sgn(x)=sgn(x), QED.

Lásd még

• Heaviside-függvény

Irodalom

• Weisstein, Eric W.: Sign (angol nyelven). Wolfram MathWorld