A matematikában a szorzatszabály alkalmazásával két, vagy több függvény szorzatának a deriváltját lehet kiszámítani.
Egy lehetséges jelöléssel:
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}
vagy a Leibniz-féle jelöléssel:
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
u
⋅
d
v
d
x
+
v
⋅
d
u
d
x
{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}
továbbá:
d
(
u
v
)
=
u
d
v
+
v
d
u
{\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}
A három függvény szorzatának deriváltja:
d
d
x
(
u
⋅
v
⋅
w
)
=
d
u
d
x
⋅
v
⋅
w
+
u
⋅
d
v
d
x
⋅
w
+
u
⋅
v
⋅
d
w
d
x
{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}
A szorzatszabály felfedezését Gottfried Wilhelm Leibniznek tulajdonítják, bár Child (2008) szerint Isaac Barrow nevéhez fűződik a felfedezés.
Leibniz érvelése:
Legyen u (x ) és v (x ) x két differenciálható függvénye.
Ekkor uv differenciálja:
y
+
d
(
u
⋅
v
)
=
(
u
+
d
u
)
⋅
(
v
+
d
v
)
d
(
u
⋅
v
)
=
(
u
+
d
u
)
⋅
(
v
+
d
v
)
−
u
⋅
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y+d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)\\d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}
Mivel du •dv kifejezések (du -hoz és dv -hez képest) „elhanyagolhatók”, Leibniz arra a megállapításra jutott, hogy:
d
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
+
u
⋅
d
v
{\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,\!}
és ez valóban a szorzatszabály differenciál alakja.
Ha végig osztunk dx -szel, kapjuk:
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
d
x
+
u
⋅
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}\,\!}
mely ilyen alakba is írható:
(
u
⋅
v
)
′
=
v
⋅
u
′
+
u
⋅
v
′
.
{\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,\!}
Tegyük fel, hogy differenciálni akarjuk a ƒ (x ) = x ² sin (x ) függvényt. A szorzatszabályt alkalmazva kapjuk: ƒ '(x ) = 2x sin(x ) + x ²cos(x ) (mivel x ² deriváltja: 2x , és sin(x ) deriváltja: cos(x )).
Speciális eset az úgynevezett „konstans szorzási szabály”, mely azt állítja: ha van egy c valós számunk , és egy ƒ (x ) differenciálható függvény, akkor cƒ (x ) is differenciálható, és a derivált: (c × ƒ )'(x ) = c × ƒ '(x ). Ez a szorzatszabályból következik, mivel egy konstans deriváltja zéró. Ezt kombinálva a deriváltak szumma-szabályával, mutatja, hogy a differenciálás lineáris.
A részenkénti integrálás szabálya levezethető a szorzatszabályból, mivel ez a hányadosszabály (annak gyenge változata). Azért „gyenge” változat, mert nem igazolja, hogy a hányados differenciálható, csak azt mondja, egy van egy deriváltja, ha az differenciálható.
Egy általánosan előforduló hiba, ha feltételezzük, hogy (uv ) deriváltja egyenlő (u ′)(v ′).
Kezdetben, Leibniz maga is elkövette ezt a hibát[1]
Tekintsük ƒ (x ) függvényt, melynek deriváltja: ƒ '(x ). Ezt úgy is felírhatjuk, hogy ƒ (x ) • 1, mivel az 1 neutrális elem a szorzást tekintve.
Ha fenti téves koncepció igaz lenne, akkor (u ′)(v ′) zérus lenne. Ez azért igaz, mert egy konstans deriváltja mindig zéró, és így a szorzat is zéró lenne.
A szorzat-szabály bizonyítása
szerkesztés
Egy precíz bizonyítás adható a deriváltak 'Newton-féle differenciahányados határérték elméletére alapozva.
Ha
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
,
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}
és ƒ és g differenciálható egy fix x számnál, akkor
h
′
(
x
)
=
lim
w
→
x
h
(
w
)
−
h
(
x
)
w
−
x
=
lim
w
→
x
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
w
−
x
.
(
1
)
{\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}
Ekkor a különbség
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
(
2
)
{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}
azaz a nagy téglalap területe mínusz a kis téglalap területe (a lenti ábra szerint).
Szorzatszabály bizonyítása A nagy és a kis téglalap közötti terület kettő téglalapra osztható, ennek a területnek a szummája[2]
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
)
.
(
3
)
{\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}
mert:
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
+
f
(
x
)
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
+
g
(
x
)
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
{\displaystyle {\Bigg (}f(w)-f(x)+f(x){\Bigg )}{\Bigg (}g(w)-g(x)+g(x){\Bigg )}-f(x)g(x)=}
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
w
)
g
(
x
)
+
f
(
w
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
w
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
{\displaystyle f(w)g(w)-f(w)g(x)+f(w)g(x)-f(x)g(w)+f(x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(w)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)=}
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
w
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)
=
{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(w)-f(x)g(x)+f(x)g(w)+f(x)g(x)=}
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}+f(x)g(x)}
Ezért az (1)-es kifejezés egyenlő:
lim
w
→
x
(
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
)
)
.
(
4
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}
Feltéve, hogy az összes használt határérték létezik, (4) egyenlő:
(
lim
w
→
x
f
(
x
)
)
(
lim
w
→
x
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
)
+
(
lim
w
→
x
g
(
w
)
)
(
lim
w
→
x
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
)
.
(
5
)
{\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}
és most
lim
w
→
x
f
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)}
ez igaz, mert f (x ) konstans marad, ha w → x
lim
w
→
x
g
(
w
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}
Ez igaz, mert a differenciálható függvény folytonos (g -ről feltételezve, hogy differenciálható),
tehát:
lim
w
→
x
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}
lim
w
→
x
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}
mert f és g',' x-nél differenciálható;
Ennek következtében az (5) kifejezés egyenlő:
f
(
x
)
g
′
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}
Több mint két tényező szorzata
szerkesztés
A szorzat-szabályt általánosítani lehet több, mint két tényezőre.
Például három tényezőre:
d
(
u
v
w
)
d
x
=
d
u
d
x
v
w
+
u
d
v
d
x
w
+
u
v
d
w
d
x
{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}\,\!}
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}
d
d
x
[
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
]
=
∑
i
=
1
k
(
d
d
x
f
i
(
x
)
∏
j
≠
i
f
j
(
x
)
)
=
(
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
)
(
∑
i
=
1
k
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}
Magasabb fokú deriváltak
szerkesztés
A Leibniz-szabály szerint általánosítható a két tényezős szorzat-szabály n -edik deriváltjára:
(
u
v
)
(
n
)
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
u
(
n
−
k
)
(
x
)
⋅
v
(
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
Magasabb fokú parciális deriváltak
szerkesztés
Parciális deriváltakra :
∂
n
∂
x
1
⋯
∂
x
n
(
u
v
)
=
∑
S
∂
|
S
|
u
∏
i
∈
S
∂
x
i
⋅
∂
n
−
|
S
|
v
∏
i
∉
S
∂
x
i
{\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}
ahol az S index végig fut a {1, ..., n }, 2n
∂
3
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
(
u
v
)
=
u
⋅
∂
3
v
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
1
⋅
∂
2
v
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
2
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
3
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
2
⋅
∂
v
∂
x
3
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
2
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
1
+
∂
3
u
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
⋅
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}
A szorzat-szabály alkalmazásai között egy bizonyíték:
d
d
x
x
n
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,\!}
ahol n pozitív egész. (A szabály akkor is érvényes, ha n nem pozitív, vagy nem egész, de akkor a bizonyítás más módszerrel történik).
A teljes indukció bizonyítása n -edik kitevőre.
Ha n = 0, akkor x n nx n – 1n kitevőre érvényes, és így a következő n + 1-re is:
d
d
x
x
n
+
1
=
d
d
x
(
x
n
⋅
x
)
=
x
d
d
x
x
n
+
x
n
d
d
x
x
(itt használtuk a szorzat-szabályt)
=
x
(
n
x
n
−
1
)
+
x
n
⋅
1
(az indukciós hipotézis)
=
(
n
+
1
)
x
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(itt használtuk a szorzat-szabályt)}}\\[10pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(az indukciós hipotézis)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}}
Ha a tétel igaz n -re, akkor n + 1-re is igaz.
Tangenstér definíciója
szerkesztés
A szorzat-szabály felhasználható az absztrakt tangenstér definiálásra is.
Az a tényt használható itt, hogy egy geometria alakzat p pontján definiálni lehet valós értékű függvények deriváltjait a szorzat-szabállyal, és minden ilyen deriválás lineáris teret (vektortér ) alkot, mely a kívánt tangenstér.
Freud Róbert: Lineáris algebra. (hely nélkül): ELTE Eötvös Kiadó. 2004.
Fried Ervin: 'Algebra I., Elemi és lineáris algebra'év=2000. (hely nélkül): Nemzeti Tankönyvkiadó.
Kuros, A. G: Felsőbb algebra. (hely nélkül): Tankönyvkiadó, Bp. 1975.
↑ Michelle Cirillo (2007. August). „Humanizing Calculus ”. The Mathematics Teacher 101 (1), 23–27. o. [2012. július 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. március 7.) ↑ The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – ƒ (w ) need not be greater than ƒ (x ) and g (w ) need not be greater than g (x ). Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d914d5b0e94301307da282eb0a2f6479537eb9a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(itt használtuk a szorzat-szabályt)}}\\[10pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(az indukciós hipotézis)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d227db34204143d4afe43d4d9813249cd9c0304)