Természetes sűrűség

A matematika, azon belül a számelmélet területén természetes sűrűség (aszimptotikus sűrűség vagy aritmetikai sűrűség) a természetes számok halmazán belül egy részhalmaz nagyságát meghatározó egyik mérték.

Természetes intuíció alapján úgy vélhetnénk, hogy a négyzetszámok kevesebben vannak a pozitív egész számoknál, hiszen a négyzetszámok eleve pozitív egészek, és rajtuk kívül rengeteg pozitív egész szám létezik. Valójában azonban a pozitív egész számok éppen ugyanannyian vannak, mint a négyzetszámok: mindkét halmaz végtelen, megszámlálható, ezért létezik közöttük 1:1 megfeleltetés. Ennek ellenére, ha a természetes számokon növekvő sorrendben végigmegyünk, egyre kevesebb négyzetszámot találunk. Ezt az intuíciót próbálja precízen megragadni a természetes sűrűség fogalma.

Ha véletlenszerűen kiválasztunk az [1, n] intervallumból egy egész számot, akkor annak a valószínűsége, hogy az A halmazba tartozik, éppen az A halmaz [1, n]-be eső elemeinek száma elosztva az [1, n]-be eső természetes számok számával. Ha ez a valószínűség valamilyen határértékhez tart, miközben n tart a végtelenhez, akkor ezt a határértéket tekintjük A természetes sűrűségének. Ez a szám úgy is felfogható, hogy az A halmazból való elemválasztás valószínűsége. Valóban, az aszimptotikus sűrűséggel (és néhány más sűrűségfajtával) a valószínűségi számelmélet foglalkozik.

Az aszimptotikus sűrűséggel szembe szokás állítani például a Schirelmann-sűrűséget. Az aszimptotikus sűrűség alkalmazásának egyik hátránya, hogy $\mathbb {N}$ nem minden részhalmazára értelmezhető.

Definíció

Pozitív egész számok egy A részhalmaza α aszimptotikus sűrűséggel rendelkezik, ha 1 és n közti természetes számok között az A elemeinek aránya aszimptotikusan α, ahogy n tart a végtelenhez.

Explicitebben, definiáljuk a természetes számokon értelmezett a(n) számláló függvényt úgy, hogy az minden n-re megadja az A-ban található, n-nél nem nagyobb elemek számát; ekkor az, hogy A természetes sűrűsége α a következőt jelenti:

a(n)/n → α, ahogy n → +∞.

A definícióból következik, hogy ha az A halmaz α természetes sűrűséggel bír, akkor 0 ≤ α ≤ 1.

Alsó és felső aszimptotikus sűrűségek

Legyen $A$ az $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}$ természetes számok egy részhalmaza. Bármely $n\in \mathbb {N}$-re legyen $A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A$ és $a(n)=|A(n)|$.

Az $A$ felső aszimptotikus sűrűségét, ${\overline {d}}(A)$-t a következőképpen definiáljuk:

${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

ahol lim sup a legkisebb felső korlát. ${\overline {d}}(A)$-t egyszerűen az $A$ felső sűrűségének is nevezik.

Hasonlóan ${\underline {d}}(A)$, az $A$ alsó aszimptotikus sűrűsége a következőképpen határozható meg:

${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

Akkor mondható el, hogy $A$ aszimptotikus sűrűsége $d(A)$ ha ${\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)$, amikor is $d(A)$ ezzel a közös értékkel egyezik meg.

Ez a definíció a következőképpen is megfogalmazható:

$d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}},$

ha a határérték létezik.

Bizonyítható, hogy a definíciókból az alábbiak is következnek. Ha az $\mathbb {N}$ részhalmazát felírjuk növekvő sorozatként:

$A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}$

akkor

${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},$

${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$

és $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$ ha a határérték létezik.

Megjegyzés

A sűrűség valamelyest gyengébb meghatározása a felső Banach-sűrűség; vegyünk egy $A\subseteq \mathbb {N}$ halmazt, ekkor legyen $d^{*}(A)$ a következő:

$d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\bigcap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}$

Tulajdonságok és példák

• Ha valamely A halmaznak létezik d(A) természetes sűrűsége, akkor a komplementerhalmazra igaz, hogy d(A^c) = 1 − d(A).
• Ha $d(A)$, $d(B)$ és $d(A\cup B)$ léteznek, akkor $\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}$.
• Bármely A, B halmazra ${\underline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)\leq {\overline {d}}(A\cup B)\leq {\overline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)$.
• A természetes számok halmazának d(N) természetes sűrűsége éppen 1.
• Pozitív egész számok bármely F véges halmazára d(F) = 0.
• Ha $A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}$, a négyzetszámok halmaza, akkor d(A) = 0.
• Ha $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}$ a páros számok halmaza, akkor d(A) = 0,5. Hasonlóan, bármely $A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}$ számtani sorozatra igaz, hogy d(A) = 1/a.
• Az összes prímszám P halmazára a prímszámtétel alapján d(P) = 0.
• A négyzetmentes számok halmazának sűrűsége ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}$
• A bővelkedő számok sűrűsége nem nulla. Marc Deléglise 1998-ban megmutatta, hogy a bővelkedő és tökéletes számok aszimptotikus sűrűsége 0,2474 és 0,2480 között van.
• Azon számok $A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}$ halmaza, melyek bináris kifejtése páratlan számjegyet tartalmaz jó példa olyan halmazra, aminek nincs aszimptotikus sűrűsége, mivel felső sűrűsége:

${\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}\,,$

míg az alsó sűrűsége:

${\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}\,.$

• Hasonlóan, a tízes számrendszerben 1-essel kezdődő számok halmazának sincs természetes sűrűsége: alsó sűrűsége 1/9, felső sűrűsége 5/9.
• Tekintsük az $\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ egyenletes eloszlású sorozatot a $[0,1]$ intervallumban, és definiáljunk egy monoton $\{A_{x}\}_{x\in [0,1]}$ halmazcsaládot:

$A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}\,.$

Ekkor definíció szerint $d(A_{x})=x$ minden $x$-re.

Egyéb sűrűségfüggvények

A természetes számok részhalmazaira analóg módon hasonló sűrűségfüggvények definiálhatók. Például az A halmaz logaritmikus sűrűségén a következő határérték értendő (ha az létezik):

$\mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}\ .$

A felső és alsó logaritmikus sűrűségek is analóg módon definiálhatók.

Kapcsolódó szócikkek

• Dirichlet-sűrűség

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Natural density című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

• Nathanson, Melvyn B.. Elementary Methods in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (2000). ISBN 0387989129 
• Niven, Ivan (1951). „The asymptotic density of sequences”. Bulletin of the American Mathematical Society 57, 420–434. o. DOI:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9.  
• Steuding, Jörn: Probabilistic number theory, 2002. [2011. december 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2014. november 16.)
• Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press (1995)