Wikipédia

Thue–Siegel–Roth-tétel

számelméleti állítás

A Thue–Siegel–Roth-tétel, más néven Roth-tétel az algebrai számok approximációjának alapvető tétele. E tétel azt állítja, hogy az algebrai számok nem közelíthetők túl sokféleképpen racionális számokkal, rosszul approximálhatók. Itt a jól, illetve a rosszul fogalmát több mint ötven évbe telt tisztázni Joseph Liouville-től (1844) kezdve, majd Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), és Klaus Roth (1955) is foglalkozott vele.

Állítás szerkesztés

A tétel azt állítja, hogy egy irracionális algebrai szám,   approximációs kitevője egyenlő 2-vel, vagyis adott  -ra az

 

egyenlőtlenségnek véges sok   és   relatív prím egész megoldása van, ahogy Siegel sejtette. Így minden irracionális α számra

 

ahol   pozitív szám, ami csak  -tól és  -tól függ.

Diszkussziója szerkesztés

Az első eredmény Liouville tétele volt, ami approximációs kitevőt adott a legalább másodfokú α algebrai számra, ahol a szám foka megegyezik a minimálpolinomjának fokával. Ez már elég arra, hogy belássuk, hogy vannak transzcendens számok. Thue megállapította, hogy a szám fokánál, d-nél kisebb kitevő hasznos lenne a diofantoszi egyenlőtlenségek megoldásában, és a Thue-tételben (1909) a d/2 + 1 + ε kitevőt adta meg. Siegel ezt a kitevőt 2√d-re, Dyson √(2d)-re javította 1947-ben.

Roth eredménye, a 2+ε bizonyos értelemben a lehető legjobb, mert a fenti állítás nem működik ε = 0-val; Dirichlet approximációs tétele szerint ekkor végtelen sok megoldás van. Ennek ellenére Serge Lang felvetette azt a sejtést, hogy az

 

egyenletnek véges számú megoldása van p-ben és q-ban. Ha α végigfut az összes valós számon, a transzcendenseken is, akkor Roth és Lang következtetése majdnem minden α-ra fennáll. Így mindkét eredmény, a tétel és a sejtés is azt állítja, hogy egy nullmértékű halmaz kivételével mindenütt teljesül.

A tétel nem ad használható korlátokat adott α esetén p-re és q-ra.[1] Davenport és Roth (1955)[2] megmutatta, hogy Roth módszere alkalmas p/q becslésére. Azonban mivel C(ε)-t nem tudjuk kiszámítani, az egyenlet megoldása vagy a megoldásokra korlátok adása csak távoli cél lehet.

A bizonyítás módszere szerkesztés

A bizonyítás módszere egy több változós segédfüggvényt használ, ami ellentmondáshoz vezet túl sok túl jó approximáció esetén. Természeténél fogva nem hatásos. Felhasználható egyes diofantoszi egyenletek megoldásainak számának korlátozása.

Általánosításai szerkesztés

Magasabb dimenzióban Schmidt altér tétele. Más kiterjesztések használják például a p-adikus metrikát,[3] Roth módszerén alapulva.

LeVeque általánosította a módszert, hogy megmutassa, hasonló korlátok teljesülnek más számtestek fölött. Legyen H(ξ) a ξ algebrai szám magassága, azaz minimálpolinomjának együtthatóinak legnagyobb abszolút értéke! Legyen adva egy κ>2 szám! Ekkor egy adott α algebrai számra egy K testben az

 

egyenletnek véges sok megoldása van K-ban.[4]

Jegyzetek szerkesztés

  1. ↑ Diophantine Geometry: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 344–345. o. (2000). ISBN 0-387-98981-1 
  2. ↑ (Davenport & Roth 1955)
  3. ↑ Ridout, D. (1958). „The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem”. Mathematika 5, 40–48. o.  
  4. ↑ LeVeque, William J.. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications, II:148–152. o. [1956] (2002). ISBN 978-0-486-42539-9 

Források szerkesztés

A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Thue–Siegel–Roth-tétel&oldid=24097833”