Trapézszabály

közelítő eljárás határozott integrálok meghatározására

A matematikában a trapézszabály közelítő eljárás határozott integrálok meghatározására, melynek során egy függvénygörbe meghatározott intervallumba eső görbe alatti területét egy, a görbe által meghatározott trapéz területével helyettesíti. Infinitezimális változata, melynek során az intervallum felosztása minden határon túl finomodik, egy konkrét (nem közelítő) algoritmust jelent a határozott integrálok meghatározására.

A kék f(x) függvényt a piros lineáris függvény közelíti.

Húrtrapézformula szerkesztés

 
Húrtrapéz

Itt a két végpontot összekötő húr alatti trapézzal helyettesítjük a görbe alatti területet:

 

Ha   második deriváltja folytonos  -n, akkor

 

Összetett húrtrapézformula szerkesztés

 
Összetett trapézformula

Hogy a közelítést pontosabbá tegyük, az integrálási   tartományt   kisebb, diszjunkt részintervallumokra bontjuk;

Legyen f értéke   helyeken rendre  , ekkor az integrál a következőképpen közelíthető:

 

speciálisan, ha a részintervallumok egyenlő hosszúak:

 

Érintőtrapézformula szerkesztés

 
Érintőtrapéz

Az érintőtrapézformula azzal a trapézzal közelíti a területet, melynek az egyetlen tengelyekkel nem feltétlen párhuzamos oldala tartalmazza az   függvény gráfjának   intervallum felezőpontjához tartozó pontját. Így:

 ,

ahol, ha   második deriváltja folytonos  -n, akkor

 

Algoritmus szerkesztés

A függvény, amit integrálni szeretnénk:  , a   intervallumon, 10-es felosztással.

import math
def Fx(x):
    return math.exp(x)
def TrapezIntegralas(a,b,n):
    h=(b-a)/n
    x=a
    s=0.0
    for i in range(1,n,1):
        x=x+h
        s=s+Fx(x)
    return h*(s+(Fx(a)+Fx(b))/2)
print 'Trapezintegral:', TrapezIntegralas(0.0,5.0,10)

Az algoritmus a 150.4715 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131

Kapcsolódó szócikkek szerkesztés

Jegyzetek szerkesztés


Források szerkesztés

  • Trapezium Rule
  • Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0.
  • Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule", Numerische Mathematik 57 (1): 123–138, doi:10.1007/BF01386402, ISSN 0945-3245

Külső hivatkozások szerkesztés