Véges térfogat módszere

A véges térfogat módszere (angolul finite-volume method, FVM) módszer parciális differenciálegyenletek algebrai alakban való kiértékelésére és ábrázolására. Hasonló a véges differencia módszeréhez vagy végeselem módszeréhez az elemeket egy diszkrét helyen hálós térben számoljuk. A véges térfogat utal egy kis térfogatra amely minden hálópontot körülvesz. Ez a módszer könnyen használható strukturálatlan anyagok esetén.

1D példa

Vegyük a következő egyszerű 1D advekciós parciális differenciál egyenletet.

$\quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.$

Itt, $\rho =\rho \left(x,t\right)\$ jelenti az állapotváltozót és $f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)\$ jelenti a fluxusát vagy áramlását a $\rho \$ -nak. Természetesen, a pozitív $f\$ jelenti a jobb oldali áramlást míg a negatív $f\$ jelenti a bal oldali áramlást. Ha feltételezzük, hogy az (1) egyenlet egy állandó területű áramló közeg akkor tudjuk felosztani az $x\$ térbeli területtel véges térfogatokra vagy cellákra $i\$ indexű cellaközpontokkal. Bizonyos $i\$ indexű cellák esetében meg tudjuk határozni a térfogat szerinti átlagos értékét a ${\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)\$ -nak a ${t=t_{1}}\$ időpillanatba és az ${x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}\$ térfogatelemen, mint

$\quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,$

és a ${t=t_{2}}\$ időpillanatba mint,

$\quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,$

ahol $x_{i-{\frac {1}{2}}}\$ és $x_{i+{\frac {1}{2}}}\$ jelentik az alsó és felső felületét vagy az éleit a $i^{th}\$ cellának.

Ha integráljuk az (1) egyenletet idő szerint akkor kapjuk:

$\quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,$

ahol $f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}$.

Ahhoz, hogy megkapjuk az átlag térfogatot a $\rho \left(x,t\right)$ a $t=t_{2}\$ időpillanatban, integráljuk a $\rho \left(x,t_{2}\right)$ a $\left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]$ cellatérfogaton és osszuk az eredményt $\Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}$, i.e.

$\quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.$

Feltételezzük, hogy $f\$ jól viselkedik, és meg tudjuk cserélni az integrálás sorrendjét. Továbbá, az áramlás merőleges a sejtelemre. Most, amíg egy dimenziójú az $f_{x}\triangleq \nabla f$, tudjuk alkalmazni a divergenciatételt, azaz $\oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS$ és helyettesítjük a térfogati integrált az $f(x)\$ értékeinek divergenciájával a (élek $x_{i-{\frac {1}{2}}}\$ és $x_{i+{\frac {1}{2}}}\$) cella felületén úgyhogy a véges térfogat:

$\quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).$

ahol $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)$.

Tehát származtathatunk egy fél diszkrét numerikus rendszert a fenti cellaközpontú problémát $i\$ -vel indexelve és a cella élének fluxusát $i\pm {\frac {1}{2}}$ indexelve, differenciálva a (6) adott időben kapjuk:

$\quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,$

ahol az élek fluxusa, $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}$, rekonstruálható a cella átlagok inter- vagy extrapolációjával. A (7) egyenlet egzakt a térfogatátlagot tekintve; deriválása során nem használtunk approximációt.

Általános megmaradási tétel

Az általános megmaradási tételt a következő parciális differenciálegyenletként is tekinthetjük,

$\quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.$

Itt az ${\mathbf {u} }\$ jelképezi az állapotvektor és $\mathbf {f} \$ jelképezi a megfelelő fluxus tenzort. Megint fel tudjuk osztani a térbeli domíniumot véges térfogatelemekre vagy cellákra. Bizonyos $i\$ cellákra, elvégezhetjük a térfogat integrálást a cella teljes térfogatára, $v_{i}\$, amiből kapjuk:

$\quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.$

Az első kifejezés integrálásával megkapjuk az átlag térfogatot és alkalmazzuk a divergencia tételét a második kifejezésre, így a hozam:

$\quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },$

ahol $S_{i}\$ jelképezi a teljes felületét a cella területnek és ${\mathbf {n} }$ egy egységvektor normálisa a felületre és kifele mutat. Tehát végül is képesek vagyunk megmutatni egy általános ekvivalens eredményt a (8),

$\quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.$

Ismét, az élek fluxusainak értékei rekonstruálhatók a cellák átlagának inter-, extrapolációjával. Az aktuális numerikus rendszer függ az aktuális geometriai problémától és az anyag szerkezetétől.

A véges térfogat rendszerek konzervatívak mint a cella átlagok változása az élek fluxusán keresztül. Más szavakkal, hogy egy cella eltűnik mások megnőnek.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite volume method című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

További információk

• The finite volume method by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• The Finite Volume Method (FVM) – An introduction by Oliver Rübenkönig of Albert Ludwigs University of Freiburg, available under the GFDL. archív
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
• CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach