Általánosított sűrűségfüggvény

Az általánosított sűrűségfüggvény speciális tulajdonságú valós értékű függvény, ami főként a valószínűségszámításban és a mértékelméletben fordul elő, ahol mértékeket vagy előjeles mértékeket konstruálnak vele. Anélkül lehet vele mértékeket konstruálni, hogy mélyebben belenyúlnánk a mértékelméletbe. Általában a valószínűségi sűrűségfüggvényt nevezik egyszerűen sűrűségfüggvénynek.

Definíció

Adva legyen $(X,{\mathcal {A}},\mu )$, és az $f\colon X\to \mathbb {R}$ $\mu$-kváziintegrálható függvény. Ekkor az

$\mu _{f}(A):=\int _{A}f(x)\mathrm {d} \mu (x)$ minden $A\in {\mathcal {A}}$ halmazra

függvény mérték, és ennek $f$ a sűrűségfüggvénye.

Megfordítva, legyenek $\mu$ és $\nu$ mértékek $(X,{\mathcal {A}})$-ben. Ha

$\nu (A)=\int _{A}f_{\nu }(x)\mathrm {d} \mu (x)$

egy $f_{\nu }$ kváziintegrálható függvényre, és minden $A\in {\mathcal {A}}$ halmazra, akkor $f_{\nu }$ a $\nu$ mérték $\mu$ mértékre vonatkozó sűrűségfüggvénye. Ezt a függvényt nevezik Radon-Nikodým-deriváltnak és Radon-Nikodým-sűrűségnek is, és úgy jelölik, mint ${\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}$.

Előjeles mértékek esetén a definíció hasonló, de a pozitív tulajdonság mellőzésével.

Példák

Valószínűségi sűrűségfüggvény

Az általánosított sűrűségfüggvényekre példa a valószínűségi sűrűségfüggvény. Itt a mérték a $\lambda$ Lebesgue-mérték és a Lebesgue-integrál mértéke, ahol is az alaptér mértéke egy. Egy $f_{P}$ függvény megadása egyszerű lehetőség a valószínűségi mérték definiálására:

$P(A)=\int _{A}f_{P}(x)\mathrm {d} \lambda (x)$

Az így definiálható valószínűségi mértékek abszolút folytonos valószínűségi mértékek. Lehetővé teszik az elemi hozzáférést a valószínűségszámításhoz, gyakran a Lebesgue-integrál alkalmazásáról is lemondanak, megelégednek a Riemann-integrállal. Ekkor a jelölés $\mathrm {d} \lambda (x)$ helyett $\mathrm {d} x$.

Számsűrűség

A sűrűségfüggvény további példái a számsűrűségek, amiket valószínűségi függvényeknek is neveznek. A legegyszerűbb esetben minden természetes számhoz egy nemnegatív számot rendelnek:

$f\colon \mathbb {N} \to [0,\infty )$.

Az összes függvényérték összege egy, és valószínűségek definiálhatók hozzájuk:

$P(\{k\}):=f(k)$

amik egy diszkrét valószínűségi eloszlás valószínűségei. Ha $\mu$ a számossági mérték $\mathbb {N}$-en, akkor

$P(A)=\sum _{k\in A}f(k)=\int _{A}f(k)\mathrm {d} \mu (k)$.

Ezzel a számsűrűség sűrűségfüggvény a számosságra nézve.

Létezés

Definíció szerint minden pozitív kváziintegrálható függvény, mérték páros meghatároz egy újabb mértéket, ami sűrűségfüggvényt vezet be.

Két mérték esetén adódik a kérdés, hogy ha $\mu ,\nu$ mérték, és $\nu$ abszolút folytonos a $\mu$ mértékre, akkor létezik-e sűrűségfüggvénye a $\nu$ mértéknek a $\mu$ mértékre vonatkozóan, vagy fordítva. Ennek a kérdésnek az első felét a Radon-Nikodým-tétel igenlően válaszolja meg.

Források

• Jürgen Elstrodt. Maß- und Integrationstheorie, 6., javított, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2009). ISBN 978-3-540-89727-9 
• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dichtefunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.