Általánosított sűrűségfüggvény

Az általánosított sűrűségfüggvény speciális tulajdonságú valós értékű függvény, ami főként a valószínűségszámításban és a mértékelméletben fordul elő, ahol mértékeket vagy előjeles mértékeket konstruálnak vele. Anélkül lehet vele mértékeket konstruálni, hogy mélyebben belenyúlnánk a mértékelméletbe. Általában a valószínűségi sűrűségfüggvényt nevezik egyszerűen sűrűségfüggvénynek.

Definíció szerkesztés

Adva legyen  , és az    -kváziintegrálható függvény. Ekkor az

  minden   halmazra

függvény mérték, és ennek   a sűrűségfüggvénye.

Megfordítva, legyenek   és   mértékek  -ben. Ha

 

egy   kváziintegrálható függvényre, és minden   halmazra, akkor   a   mérték   mértékre vonatkozó sűrűségfüggvénye. Ezt a függvényt nevezik Radon-Nikodým-deriváltnak és Radon-Nikodým-sűrűségnek is, és úgy jelölik, mint  .

Előjeles mértékek esetén a definíció hasonló, de a pozitív tulajdonság mellőzésével.

Példák szerkesztés

Valószínűségi sűrűségfüggvény szerkesztés

Az általánosított sűrűségfüggvényekre példa a valószínűségi sűrűségfüggvény. Itt a mérték a   Lebesgue-mérték és a Lebesgue-integrál mértéke, ahol is az alaptér mértéke egy. Egy   függvény megadása egyszerű lehetőség a valószínűségi mérték definiálására:

 

Az így definiálható valószínűségi mértékek abszolút folytonos valószínűségi mértékek. Lehetővé teszik az elemi hozzáférést a valószínűségszámításhoz, gyakran a Lebesgue-integrál alkalmazásáról is lemondanak, megelégednek a Riemann-integrállal. Ekkor a jelölés   helyett  .

Számsűrűség szerkesztés

A sűrűségfüggvény további példái a számsűrűségek, amiket valószínűségi függvényeknek is neveznek. A legegyszerűbb esetben minden természetes számhoz egy nemnegatív számot rendelnek:

 .

Az összes függvényérték összege egy, és valószínűségek definiálhatók hozzájuk:

 

amik egy diszkrét valószínűségi eloszlás valószínűségei. Ha   a számossági mérték  -en, akkor

 .

Ezzel a számsűrűség sűrűségfüggvény a számosságra nézve.

Létezés szerkesztés

Definíció szerint minden pozitív kváziintegrálható függvény, mérték páros meghatároz egy újabb mértéket, ami sűrűségfüggvényt vezet be.

Két mérték esetén adódik a kérdés, hogy ha   mérték, és   abszolút folytonos a   mértékre, akkor létezik-e sűrűségfüggvénye a   mértéknek a   mértékre vonatkozóan, vagy fordítva. Ennek a kérdésnek az első felét a Radon-Nikodým-tétel igenlően válaszolja meg.

Források szerkesztés

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dichtefunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.