Főmenü megnyitása

Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és -vel jelöljük a (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha véges dimenziós vektortér a test felett, akkor szokás a vagy a jelölést használni helyett (ahol a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a feletti -dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha véges test, amelynek elemszáma , akkor a helyett szokásos a jelölés is. (Itt nyilván prímhatvány.)

Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportjaSzerkesztés

A véges dimenziós esetben   elemei megfeleltethetők   feletti  -es invertálható mátrixoknak, és így   megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a   elemeivel való számolást.

PéldákSzerkesztés

  •   a sík lineáris transzformációinak csoportja.
  •   a nyolcelemű test feletti  -as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.

ElemszámSzerkesztés

Ha   végtelen test, vagy   végtelen dimenziós,   felett, akkor   végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén   is véges, mégpedig

 

Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány  -es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma  . A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből   darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből   darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba   n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.

Néhány konkrét véges általános lineáris csoportSzerkesztés

Alaptest rendje Mátrixok rendje Csoport szokásos elnevezése Csoport rendje
2 1 Triviális csoport  
3 1  , ötelemű ciklikus csoport  
4 1  , ötelemű ciklikus csoport  
5 1  , ötelemű ciklikus csoport  
2 2  , harmadfokú szimmetrikus csoport  
3 2   általános lineáris csoport  
4 2   alternáló csoport  
5 2   általános lineáris csoport  
2 3   általános lineáris csoport  

ForrásSzerkesztés