Általános lineáris csoport
Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és -vel jelöljük a (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha véges dimenziós vektortér a test felett, akkor szokás a vagy a jelölést használni helyett (ahol a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a feletti -dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha véges test, amelynek elemszáma , akkor a helyett szokásos a jelölés is. (Itt nyilván prímhatvány.)
Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportja
szerkesztésA véges dimenziós esetben elemei megfeleltethetők feletti -es invertálható mátrixoknak, és így megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a elemeivel való számolást.
Példák
szerkesztés- a sík lineáris transzformációinak csoportja.
- a nyolcelemű test feletti -as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.
Elemszám
szerkesztésHa végtelen test, vagy végtelen dimenziós, felett, akkor végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén is véges, mégpedig
Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány -es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma . A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.
Néhány konkrét véges általános lineáris csoport
szerkesztésAlaptest rendje | Mátrixok rendje | Csoport szokásos elnevezése | Csoport rendje |
---|---|---|---|
2 | 1 | Triviális csoport | |
3 | 1 | , ötelemű ciklikus csoport | |
4 | 1 | , ötelemű ciklikus csoport | |
5 | 1 | , ötelemű ciklikus csoport | |
2 | 2 | , harmadfokú szimmetrikus csoport | |
3 | 2 | általános lineáris csoport | |
4 | 2 | alternáló csoport | |
5 | 2 | általános lineáris csoport | |
2 | 3 | általános lineáris csoport |
Források
szerkesztés- Vipul Naik: General linear group over a field. Groupprops. (Hozzáférés: 2013. november 4.)