Árjabhata számábrázolása

Árjabhata számábrázolása a nagy indiai matematikus-csillagász, Árjabhata (i. sz. 476–550) által kialakított alfaszillabikus számírásrendszer. Árjabhata nem a már több száz éve Indiában általánosan használt számírásrendszert, a bráhmi számírást használta, hanem saját rendszert alakított ki. Az i. sz. 510 körül keletkezett Árjabhatíja c. munkája első fejezetében, Gitikapada, írta le rendszerét.[1] Számábrázolásának számjeleit az indiai alfaszillabikus írás grafémáiból, 33 mássalhangzó + 9 magánhangzó, vette át és az ezekből alkotott szótagokat rendelte számértékekhez. Rendszerében rendkívül nagy számok is tömören leírhatók voltak, akár 1018 nagyságrendűek is.[2] Árjabhata számábrázolásában egy szám viszont több szótaghoz is hozzárendelhető, így a hozzárendelés nem kölcsönösen egyértelmű.

StruktúrájaSzerkesztés

Árjabhata számírásrendszere kialakításakor az indiai alfaszillabikus írás írásjeleit használta fel – a szanszkrit fonémákat követve –, rendszerében a szótagokhoz számértékeket rendelve. Az indiai abugida jellegű írásban 33 alap mássalhangzó hordoz egy alapértelmezett inherens magánhangzót, az inherens magánhangzótól eltérő, megközelítőleg 20 diakritikus magánhangzót pedig mellékjelekkel, diakritikus jelekkel jelzik. Az inherens magánhangzó az  . Árjabhata az írás 33 mássalhangzóját és 9 magánhangzóját használta fel rendszerében. Az indiai alfaszillabikus rendszernek köszönhetően Árjabhata számára akár több száz lehetséges szótag is rendelkezésére állt, de számírásrendszere elsajátításához csak a jelek három csoportját kellett megtanulni, melyek egymással kombinálhatók.

Az egyik csoport a varga mássalhangzók, a másik csoport az avarga mássalhangzók, a harmadik csoport a magánhangzók. Rendszerében a mássalhangzókhoz rendelt számértékeket módosítják a diakritikus magánhangzók. Az egymást követő magánhangzók   stb. határozzák meg a 100 hatványát, mellyel a mássalhangzók – a varga mássalhangzók  -tól  -ig, ill. az avarga mássalhangzók  -tól  -ig – számértéke szorzandó. Ezeknek a jeleknek a kombinációjával 1018-ig minden szám leírható volt.

 
Árjabhata számjeleinek csoportjai: a varga mássalhangzók, az avarga mássalhangzók és a magánhangzók

A rendszer 100 alatt kissé szabálytalan. Árjabhata a 33 alapírásjelhez, 1-től 25-ig a varga mássalhangzókhoz egyesével növelve rendelte a számokat, majd efölött, az avarga mássalhangzókhoz tízesével növelve, azaz a 30, 40, 50, … egészen 100-ig.

Így pl. a 3, 5, 6, 7 a varga mássalhangzókkal leírva:

 

azaz:

 ,  ,  ,  

A 11 és 19 közötti jelek és a 21 és 25 közöttiek nem voltak feltétlenül szükségesek, mivel pl. a 15-öt le lehetett írni a 10 és az 5 jelével – additív elven –, de a 15 jelével is minden kétértelműség nélkül, bár az utóbbi tömörebb volt.

A 25 és 100 közötti értékek a varga és az avarga mássalhangzók additív kombinációjaként íródtak.

Így pl. a 32 leírása:

 

azaz:

ख य  

100 felett egy mássalhangzóhoz kapcsolt diakritikus magánhangzó a szám értékét a 100 egy-egy hatványával szorozta meg – aszerint, hogy a magánhangzók csoportjában hányadik helyhez tartozott.

Így pl. a fent említett   az u diakritikus magánhangzóval kombinálva a 320 000 értéket kapja:

 

azaz:

खु यु  

Egy-egy számot többféleképp is le lehetett írni. Pl. az i magánhangzóval való kombináció esetén az érték 100-zal szorzódik, így két jel van a 100-as értékére – a ha és a ki –; mindez némi lehetőséget ad a zavarra. Más esetben is, pl. a 85-öt 5 + 80-ként is leírhatták és 15 + 70-ként is.

A számszakaszokban a legalacsonyabb értéket balra írták, amely a szanszkrit lexikális számok sorrendiségét követi, ez viszont ellentétes az indiai számírásrendszerekkel, ahol a legmagasabb érték áll baloldalt. A zéró jelére nem volt szükség és nem is használták. Bár néha tévesen a rendszert helyiértékes számírásrendszernek vélik, S. Chrisomalis kanadai kutató Árjabhata számírását nem helyiértékesnek tekinti, mivel egy numerikus szakasz közepébe helyezett szótag a többi jel számértékét nem változtatja meg. S. Chrisomalis ezt egy százas alapú, multiplikatív-additív rendszernek tartja, tízes alapú cifferes albázissal.[3]

Kifejlesztésének alapjaiSzerkesztés

A kutatók eltérően vélekednek Árjabhata rendszere kialakításának körülményeiről:

  • Árjabhata munkáiban nem kora indiai számírásrendszerét, a bráhmi számírást használta. S. Chrisomalis feltételezése szerint, lehetséges, hogy az alfaszillabikus számírását azért alakította ki, mivel a bráhmi cifferes-additív számírás a nagy számok lejegyzésére nem volt hatékony, ezt a kérdést viszont a saját számírásával egész tömören el tudta érni.
  • Feltételezhető, hogy Árjabhata a bráhmi számírás mellett ismerte a görög alfabetikus számírást is, mivel csillagászati munkái görög forrásokra is épültek.[4] J. F. Fleet érvelése szerint Árjabhata az írásjelek számíráskénti használatának alapgondolatát a görögöktől kölcsönözhette – bár erre nincs egyértelmű bizonyíték –, viszont a két rendszer gyökeresen különböző.[5] Még ha ismerte is a görög számokat, kis szerepet játszhatott saját rendszere kialakításában, melynek egyedi jellege – 100-as alapú – nem található meg semmilyen más rendszerben.[6]
  • G. Ifrah feltételezése szerint bár Árjabhata rendszere nem helyiértékes, Árjabhata ismerhette a helyiértékes számírást, amelyik esetleg már Árjabhata ideje előtt létezett, de a bizonyítékok visszafordíthatatlanul elvesztek a történelem számára.[7] S. Chrisomalis ezzel szemben úgy véli, Árjabhata rendszerének viszonylagos bonyolultsága, és nemhelyiértékes jellege amellett szól, hogy Árjabhata nem ismerhetett helyiértékes számírást.
  • Árjabhata számai tömörek és bár végtelenségig nem növelhetők, de elég nagy számok kifejezésére is alkalmasak. Nincs viszont arra bizonyíték, hogy Árjabhata számításait közvetlenül ezekkel a számokkal végezte volna. S. Chrisomalis elgondolása szerint ezek funkciója elsődlegesen a nagy számok versekben való kifejezése lehetett, ahogy a hagyományos indiai matematika is teszi. Bár a matematikai kifejezések versbe szedése korlátozta és bonyolultabbá tette a számok kifejezését, viszont a felhasználót a memoriterek megsegítették, ugyanakkor rendszere megtartotta más számírásrendszerek tömörségét is.[6]

HatásaSzerkesztés

  • G. Ifrah állítása szerint Árjabhata rendszerének befogadása és használata eredményezte a helyiértékes számírás és a zéró elterjedését.[8] S. Chrisomalis ezzel szemben mindezt ennek a rendszernek a kutatásával kapcsolatos tapasztalat-ellenes módszernek tekinti.[9]
  • Árjabhata rendszerét még jóval halála után is ismerték ugyan az indiai csillagászok és matematikusok, de csak munkáival kapcsolatosan említették meg. A rendszerben az aritmetikai lehetőségek hiánya, társulva azzal, hogy szanszkrit nyelven az összetett számszakaszok kiejtése nehézkes, még Árjabhata hívei körében is a rendszer mellőzését eredményezték.[10]
  • Ez a rendszer az első alfaszillabikus számírás Indiában. Később számos utódrendszer emelkedett ki Indiában, melyek a számjeleket és a fonetikus jeleket társították, ezek közül a legismertebb a katapayadi számírás és az aksharapalli számírás. Mivel az újabb rendszerek nem voltak annyira szokatlanok, mint Árjabhata rendszere, ezért azok sikeresebbek lettek.[10]

A számértékekhez rendelt szótagok táblázatbanSzerkesztés

Árjabhata rendszerében a számértékekhez rendelt   33 × 9  =  297   szanszkrit szótag
A 9 magánhangzó (vízszintesen)
ill. a 33 mássalhangzó (függőlegesen)
  -a -i -u - - -e -ai -o -au  
         
    ×     1000   1001   1002   1003   1004   1005 1006   1007 1008  
Öt veláris zárhang                      
k - 1    or का
ka
कि or की
ki
कु or कू
ku
कृ or कॄ
kṛ
कॢ or कॣ
kḷ
के or कॆ
ke
कै
kai
को or कॊ
ko
कौ
kau
 
kh - 2  
kha
खि
khi
खु
khu
खृ
khṛ
खॢ
khḷ
खे
khe
खै
khai
खो
kho
खौ
khau
 
g - 3  
ga
गि
gi
गु
gu
गृ
gṛ
गॢ
gḷ
गे
ge
गै
gai
गो
go
गौ
gau
 
gh - 4  
gha
घि
ghi
घु
ghu
घृ
ghṛ
घॢ
ghḷ
घे
ghe
घै
ghai
घो
gho
घौ
ghau
 
- 5  
ṅa
ङि
ṅi
ङु
ṅu
ङृ
ṅṛ
ङॢ
ṅḷ
ङे
ṅe
ङै
ṅai
ङो
ṅo
ङौ
ṅau
 
Öt palatális zárhang                      
c - 6  
ca
चि
ci
चु
cu
चृ
cṛ
चॢ
cḷ
चे
ce
चै
cai
चो
co
चौ
cau
 
ch - 7  
cha
छि
chi
छु
chu
छृ
chṛ
छॢ
chḷ
छे
che
छै
chai
छो
cho
छौ
chau
 
j - 8  
ja
जि
ji
जु
ju
जृ
jṛ
जॢ
jḷ
जे
je
जै
jai
जो
jo
जौ
jau
 
jh - 9  
jha
झि
jhi
झु
jhu
झृ
jhṛ
झॢ
jhḷ
झे
jhe
झै
jhai
झो
jho
झौ
jhau
 
ñ - 10  
ña
ञि
ñi
ञु
ñu
ञृ
ñṛ
ञॢ
ñḷ
ञे
ñe
ञै
ñai
ञो
ño
ञौ
ñau
 
Öt retroflex zárhang                      
- 11  
ṭa
टि
ṭi
टु
ṭu
टृ
ṭṛ
टॢ
ṭḷ
टे
ṭe
टै
ṭai
टो
ṭo
टौ
ṭau
 
ṭh - 12  
ṭha
ठि
ṭhi
ठु
ṭhu
ठृ
ṭhṛ
ठॢ
ṭhḷ
ठे
ṭhe
ठै
ṭhai
ठो
ṭho
ठौ
ṭhau
 
- 13  
ḍa
डि
ḍi
डु
ḍu
डृ
ḍṛ
डॢ
ḍḷ
डे
ḍe
डै
ḍai
डो
ḍo
डौ
ḍau
 
ḍh - 14  
ḍha
ढि
ḍhi
ढु
ḍhu
ढृ
ḍhṛ
ढॢ
ḍhḷ
ढे
ḍhe
ढै
ḍhai
ढो
ḍho
ढौ
ḍhau
 
- 15  
ṇa
णि
ṇi
णु
ṇu
णृ
ṇṛ
णॢ
ṇḷ
णे
ṇe
णै
ṇai
णो
ṇo
णौ
ṇau
 
Öt dentális zárhang                      
t - 16  
ta
ति
ti
तु
tu
तृ
tṛ
तॢ
tḷ
ते
te
तै
tai
तो
to
तौ
tau
 
th - 17  
tha
थि
thi
थु
thu
थृ
thṛ
थॢ
thḷ
थे
the
थै
thai
थो
tho
थौ
thau
 
d - 18  
da
दि
di
दु
du
दृ
dṛ
दॢ
dḷ
दे
de
दै
dai
दो
do
दौ
dau
 
dh - 19  
dha
धि
dhi
धु
dhu
धृ
dhṛ
धॢ
dhḷ
धे
dhe
धै
dhai
धो
dho
धौ
dhau
 
n - 20  
na
नि
ni
नु
nu
नृ
nṛ
नॢ
nḷ
ने
ne
नै
nai
नो
no
नौ
nau
 
Öt labiális hang                      
p - 21  
pa
पि
pi
पु
pu
पृ
pṛ
पॢ
pḷ
पे
pe
पै
pai
पो
po
पौ
pau
 
ph - 22  
pha
फि
phi
फु
phu
फृ
phṛ
फॢ
phḷ
फे
phe
फै
phai
फो
pho
फौ
phau
 
b - 23  
ba
बि
bi
बु
bu
बृ
bṛ
बॢ
bḷ
बे
be
बै
bai
बो
bo
बौ
bau
 
bh - 24  
bha
भि
bhi
भु
bhu
भृ
bhṛ
भॢ
bhḷ
भे
bhe
भै
bhai
भो
bho
भौ
bhau
 
m - 25  
ma
मि
mi
मु
mu
मृ
mṛ
मॢ
mḷ
मे
me
मै
mai
मो
mo
मौ
mau
 
Négy approximant, ill. pergőhang                      
y - 30  
ya
यि
yi
यु
yu
यृ
yṛ
यॢ
yḷ
ये
ye
यै
yai
यो
yo
यौ
yau
 
r - 40  
ra
रि
ri
रु
ru
रृ
rṛ
रॢ
rḷ
रे
re
रै
rai
रो
ro
रौ
rau
 
l - 50  
la
लि
li
लु
lu
लृ
lṛ
लॢ
lḷ
ले
le
लै
lai
लो
lo
लौ
lau
 
v - 60  
va
वि
vi
वु
vu
वृ
vṛ
वॢ
vḷ
वे
ve
वै
vai
वो
vo
वौ
vau
 
Három réshang                      
ś - 70  
śa
शि
śi
शु
śu
शृ
śṛ
शॢ
śḷ
शे
śe
शै
śai
शो
śo
शौ
śau
 
- 80  
ṣa
षि
ṣi
षु
ṣu
षृ
ṣṛ
षॢ
ṣḷ
षे
ṣe
षै
ṣai
षो
ṣo
षौ
ṣau
 
s - 90  
sa
सि
si
सु
su
सृ
sṛ
सॢ
sḷ
से
se
सै
sai
सो
so
सौ
sau
 
Egy glottális réshang                      
h - 100  
ha
हि
hi
हु
hu
हृ
hṛ
हॢ
hḷ
हे
he
है
hai
हो
ho
हौ
hau
 
                           

JegyzetekSzerkesztés

  1. Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Campus Verlag, Frankfurt a. M./New York 1986, ISBN 3-593-34192-1 S. 449.
  2. Stephen Chrisomalis. Numerical Notation: A Comparative History. Cambridge University Press, 206-209. o. (2010). ISBN 9780521878180. Hozzáférés ideje: 2018. szeptember 22. 
  3. Stephen Chrisomalis. Numerical Notation: A Comparative History. Cambridge University Press, 208. o. (2010). ISBN 9780521878180. Hozzáférés ideje: 2018. szeptember 22. 
  4. Fleet, J. F. Aryabhata's system of expressing numbers. Journal of the Royal Asiatic Society 1911(1): 109-126.
  5. Das, Sukumar Ranjan. „The origin and development of numerals”. Indian Historical Quarterly 1927. 3: 97-120.
  6. a b S. Chrisomalis, 2010., 208. old.
  7. G. Ifrah, 1998: 450-451 old.
  8. G. Ifrah, 1998., 450-451 old.
  9. S. Chrisomalis 2010., 209. old.
  10. a b S. Chrisomalis, 2010., 209. old.

IrodalomSzerkesztés

  • Georges Ifrah: The universal history of numbers from prehistory to the invention of the computer, John Wiley & Sons, Inc. New York, 2000
  • Georges Ifrah: The Universal History of Numbers, 1998. Translated by David Bellos, E.F.Harding, Sophie Wood, and Ian Monk. New York: John Wiley and Sons.
  • Stephen Chrisomalis: Numerical Notation: A Comparative History, 2010, Cambridge University Press, ISBN=9780521878180
  • Kurt Elfering: Die Mathematik des Aryabhata I. Text, Übersetzung aus dem Sanskrit und Kommentar. Wilhelm Fink Verlag, München, 1975, ISBN 3-7705-1326-6
  • B. L. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Birkhäuser-Verlag, Basel Stuttgart, 1966, ISBN 3-7643-0399-9

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés