Érintő- és szelőszakaszok tétele

Érintő- és szelőszakaszok tétele: Egy tetszőleges külső $P$ pontból húzott érintőszakasz hossza megegyezik a $P$ pontból húzott szelőszakaszok ($PM,PN$ vagy $PA,PB$) mértani közepével.

Érintő- és szelőszakaszok tétele: $PT={\sqrt {PM\cdot PN}}$

Bizonyítás

A $PTB$ háromszög hasonló a $PTA$ háromszöghöz, mert a $BPT$ szög megegyezik az $APT$ szöggel, PBT és PTA szögek egyenlők, mivel ugyanahhoz az (AT) ívhez tartozó kerületi ill. érintőszárú kerületi szögek. A hasonlóság alapján a megfelelő oldalak aránya megegyezik, azaz ${\frac {PT}{PB}}={\frac {PA}{PT}}$.Ezt az arányt átrendezve a bizonyítandó állítást kapjuk.

Általánosítás

A tétel igaz akkor is, ha a $P$ pont belső pont, bár ekkor nincsen érintő. A tétel általános alakja (szelőtétel néven is ismeretes) a következő:

Adott kör esetén egy adott $P$ ponton átmenő szelők körrel való metszéspontjainak $P$-től való távolságainak szorzata állandó

Bizonyítás

Vegyünk fel két szelőt a $P$ ponton keresztül. Legyenek az egyiken a két metszéspont $A$ és $B$, a másikon $A'$ és $B'$.

Szelőszakaszok tétele

Az $AB'P$ háromszög hasonló az $A'BP$ háromszöghöz, mivel a $PAB'$ szög és a $PA'B$ szög megegyezik, hiszen ugyanahhoz a húrhoz ($BB'$) tartozó külső szögek, valamint a $P$ csúcsnál fekvő szögük megegyezik. Hasonló háromszöge megfelelő oldalainak aránya állandó, így kapjuk

${\frac {PB}{PB'}}={\frac {PA'}{PA}}$,

amiből átrendezéssel adódik az állításunk. QED

Ha az érintőt olyan speciális szelőnek tekintjük, mely esetén a két metszéspont egybeesik, akkor megkapjuk a pont körre vonatkozó hatványának tételét.