Érintő- és szelőszakaszok tétele

matematikai állítás

Érintő- és szelőszakaszok tétele: Egy tetszőleges külső pontból húzott érintőszakasz hossza megegyezik a pontból húzott szelőszakaszok ( vagy ) mértani közepével. emiatt a tételt ismerik pont körre vonatkozó hatványa néven is.

Érintő- és szelőszakaszok tétele:

A tételnek nem csak egyes geometriai bizonyításokban van szerepe, hanem az algebrai problémák geometriai megfogalmazása is ezen keresztül fogalmazódhat meg, illetve fordítva. Például ezen tétel segítségével lehet adott szakasz hosszának négyzetgyökét megszerkeszteni, így elvezet a tétel az aranymetszés problémájáig is.

Bizonyítás szerkesztés

A   háromszög hasonló a   háromszöghöz, mert a   szög megegyezik az   szöggel, PBT és PTA szögek egyenlők, mivel ugyanahhoz az (AT) ívhez tartozó kerületi ill. érintőszárú kerületi szögek. A hasonlóság alapján a megfelelő oldalak aránya megegyezik, azaz  . Ezt az arányt átrendezve a bizonyítandó állítást kapjuk.

Általánosítás szerkesztés

A tétel igaz akkor is, ha a   pont belső pont, bár ekkor nincsen érintő. A tétel általános alakja (szelőtétel néven is ismeretes) a következő:

Adott kör esetén egy adott   ponton átmenő szelők körrel való metszéspontjainak  -től való távolságainak szorzata állandó

Bizonyítás szerkesztés

Vegyünk fel két szelőt a   ponton keresztül. Legyenek az egyiken a két metszéspont   és  , a másikon   és  .

 
Szelőszakaszok tétele

Az   háromszög hasonló az   háromszöghöz, mivel a   szög és a   szög megegyezik, hiszen ugyanahhoz a húrhoz ( ) tartozó külső szögek, valamint a   csúcsnál fekvő szögük megegyezik. Hasonló háromszöge megfelelő oldalainak aránya állandó, így kapjuk

 ,

amiből átrendezéssel adódik az állításunk. QED

Ha az érintőt olyan speciális szelőnek tekintjük, mely esetén a két metszéspont egybeesik, akkor megkapjuk a pont körre vonatkozó hatványának tételét.

Jegyzetek szerkesztés

Források szerkesztés

  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria. Gondolat, 52. o. (1977). ISBN 963 280 512 7 
  • Gerőcs László, Váncsa Ödön. Matematika. Akadémiai kiadó, 232. o. (2010). ISBN 978 963 05 8488 3