Főmenü megnyitása

Érintő- és szelőszakaszok tétele

Érintő- és szelőszakaszok tétele:

Érintő- és szelőszakaszok tétele: Egy tetszőleges külső pontból húzott érintőszakasz hossza megegyezik a pontból húzott szelőszakaszok ( vagy ) mértani közepével.

BizonyításSzerkesztés

A   háromszög hasonló a   háromszöghöz, mert a   szög megegyezik az   szöggel, PBT és PTA szögek egyenlők, mivel ugyanahhoz az (AT) ívhez tartozó kerületi ill. érintőszárú kerületi szögek. A hasonlóság alapján a megfelelő oldalak aránya megegyezik, azaz  .Ezt az arányt átrendezve a bizonyítandó állítást kapjuk.

ÁltalánosításSzerkesztés

A tétel igaz akkor is, ha a   pont belső pont, bár ekkor nincsen érintő. A tétel általános alakja (szelőtétel néven is ismeretes) a következő:

Adott kör esetén egy adott   ponton átmenő szelők körrel való metszéspontjainak  -től való távolságainak szorzata állandó

BizonyításSzerkesztés

Vegyünk fel két szelőt a   ponton keresztül. Legyenek az egyiken a két metszéspont   és  , a másikon   és  .

 
Szelőszakaszok tétele

Az   háromszög hasonló az   háromszöghöz, mivel a   szög és a   szög megegyezik, hiszen ugyanahhoz a húrhoz ( ) tartozó külső szögek, valamint a   csúcsnál fekvő szögük megegyezik. Hasonló háromszöge megfelelő oldalainak aránya állandó, így kapjuk

 ,

amiből átrendezéssel adódik az állításunk. QED

Ha az érintőt olyan speciális szelőnek tekintjük, mely esetén a két metszéspont egybeesik, akkor megkapjuk a pont körre vonatkozó hatványának tételét.