Az euklideszi geometriában az ív (jele: ) egy differenciálható görbe zárt darabja. Egy szokványos példa a síkban (kétdimenziós sokaság) a körvonal egy darabja, a körív. Ha az ív egy főkör (vagy fő ellipszis) darabja a térben, főívnek nevezzük.

A zöld színnel megjelölt rész egy körcikk. Az L hosszúságú határoló görbe egy körív.

Minden két különböző pont két ívet határoz meg egy körvonalon. Ha a két pont nem pontosan átellenben van egymással, akkor az egyik ív kisebb, és a hozzá tartozó középponti szög kisebb, mint radián (180°), a másik ív pedig nagyobb, és a hozzá tartozó szög is nagyobb, mint radián.

KörívSzerkesztés

Körív hosszaSzerkesztés

Egy kör ívének hossza (pontosabban ívhossza) megadható az ív θ középponti szögének (radiánban mérve) és az r hosszúságú szögszárak (sugarak) által bezárt szög szorzataként:

 .

Ez abból az aránypárból következik, hogy

 .

A kerületet és a teljes szög behelyettesítve azt kapjuk, hogy

 .

ezt átrendezve kapjuk a fenti   egyenlőséget.


Ha a szöget nem radiánban mérjük, hanem fokban, akkor a harmadik egyenlet a következő alaú lesz:

 .

ezt átrendezve kapjuk, hogy

 .

PéldaSzerkesztés

Ha a szög 60°-os és a kerület 24 egység, akkor

 

Ez abból következik, hogy a kör kerülete és a középponti szöge – ami mindig 360° – egyenes arányban állnak.

Egy felső félkör a következőképpen paraméterezhető:

 

Ekkor az ívhossz  -tól  -ig

 

Ívhez tartozó körcikk területeSzerkesztés

Egy ív és a kör középpontja által meghatározott terület (amit az ív és a két végpontjába húzott sugár határol):

 

Az A terület úgy aránylik a kör területéhez, mint a θ szög egy teljes körbeforduláshoz:

 

 -vel egyszerűsítve:

 

 -tel beszorozva mindkét oldalt kapjuk az alábbi végeredményt:

 

A fenti átváltást használva egy fokban kifejezett középponti szöghöz tartozó körcikk területe

 

Ívhez tartozó körszelet területeSzerkesztés

Egy ív és a két végpontját összekötő egyenes által határolt alakzat területe

 

Egy ívhez tartozó körszelet területének meghatározásához az   területből ki kell vonnunk a kör középpontja és az ív két végpontja által meghatározott háromszög területét.

Ívhez tartozó sugárSzerkesztés

 
Az AP és PB szakaszok szorzata egyenlő a CP és PD szakaszok szorzatával. Amennyiben az ívhez tartozó húr hossza AB és a körívtetőpont magassága CP, a kör átmérője  

A húrtétel (másnéven a pont körre vonatkozó hatványa vagy az érintő- és szelőszakaszok tétele) alkalmazásával egy kör r sugara kiszámítható a H körívtetőpont magasságból és a W ívhez tartozó húr hosszából:

Vegyünk egy húrt, aminek a két végpontja egybeesik az ív végpontjaival. A felezőmerőlegese szintén egy húr, a kör átmérője. Az első húr hossza W, amit a felezővonal két egyenlő részre oszt, amiknek a hossza  . Az átmérő teljes hossza 2r, amit az első húr 2 részre oszt. Az egyik rész, H, hossza egyenlő a körívtetőpont magasságával, a másik rész hossza pedig az átmérő fennmaradó része,  . A húrtételt alkalmazva a két húrra kapjuk, hogy

 

amiből

 

így

 

ParabolaívSzerkesztés

A parabolához tartozó ívek tulajdonságairól (hossz, közbezárt terület):

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Arc (geometry) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.