Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: .

KiszámításaSzerkesztés

Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:

 ,

ahol   független paraméter. Descartes-koordinátarendszerben a képlet így néz ki:

 

Ez a képlet a következő Riemann összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):

 

A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a   távolságon. Ahogy   tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.

Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:

 

Ívhossz szerinti paraméterezésSzerkesztés

Egy görbe paraméterezései között kitüntetett szerep jut az úthossz szerinti paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.

Legyen a   görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:

 

és   minden  -re. Ekkor a   paraméterezésű részgörbére

 

a   görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény  . Ekkor   ívhossz szerinti paraméterezése:

 

Ha   folytonosan differenciálható, és   minden  -ra, akkor   is folytonosan differenciálható, és minden  -re:

 .

ForrásokSzerkesztés

  • Planet Math: Arc length
  • Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1]