Ötödfokú egyenlet

A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:

Egy ötödfokú polinom képe

ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok vagy a komplex számok elemei, valamint .

Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása

szerkesztés

Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon   értékek, amelyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.

Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az  -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, amelyet először 1824-ben publikáltak mint az algebrai csoportelmélet egyik első alkalmazását. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, ami nem fejezhető így ki:  . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.

A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges, és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre-módszer vagy a Jenkins–Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz, és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.

Megoldható ötödfokú egyenletek

szerkesztés

Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például   felírható mint  . Más ötödfokú egyenlet, mint például a   nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinomegyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthatókkal Bring-Jerrard formában,

 

gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:

 ,

ahol   és   racionálisak.


1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,

 .


A kapcsolat az 1885-ös és az 1994-es parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk:

 ,

ahol

 .

Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet

 

racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének:

 

valamely racionális  -ra.

Mivel a Tschirnhaus-transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.

További információk

szerkesztés