σ-algebra

A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció szerkesztés

Axiómák szerkesztés

Legyen   tetszőleges halmaz,   az   részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen   az   részhalmazainak egy halmaza.

Az   halmazt az   halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1.   nem üres, azaz  .

2.   tartalmazza bármely eleme ( -ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz  .

3.   tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz  .

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az  -t régies jelöléssel  -nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok görög nagy szigma betűvel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.

Amint a halmazalgebra cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "  tartalmazza az üres halmazt ( -t, avagy a valószínűségszámításban a lehetetlen eseményt)", akár az "  tartalmazza az univerzális halmazt ( -t, avagy a valószínűségszámításban a biztos eseményt)" tulajdonsággal, azaz az  , vagy akár az   axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "  zárt a különbségképzésre", azaz   axiómával is.

Mérhető tér szerkesztés

Az   rendezett párt mérhető térnek nevezzük,   elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Összefüggés más struktúratípusokkal szerkesztés

A σ-algebrához legközelebbi struktúrafajta a λ-rendszer fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a σ-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.[1]

Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy A véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az egyszerű halmaztest fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a topologikus tér fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény [2]

Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett rendezett pár, a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő A halmaza. Magát az (Ω, A) párt mérhető térnek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns).

Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok szerkesztés

Halmazalgebra szerkesztés

Tetszőleges σ-algebra egyben halmazalgebra is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ω tartóhalmazzal (l. o.).

Megszámlálható metszetképzésre való zártság szerkesztés

A halmazalgebrákhoz képest egy σ-algebra a megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a de Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha   tetszőleges indexhalmaz, akkor

 .

Képezve mindkét oldal komplementerét:

 .

Ha mármost σ-algebrában vagyunk, azaz A0, A1, …, An, … legfeljebb megszámlálható sok tagú  -beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően

 .

Ha   σ-algebra, akkor   minden  -re, és így az utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme  -nak, ■ QED.

Leszűkítés szerkesztés

Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és A σ-algebra az Ω felett. Legyen továbbá A := {X∩Λ | XA}. Ekkor (Λ, A) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω A) tér Λ-ra vonatkozó leszűkítésének nevezünk és (Ω A) jelöl.

Generált algebra szerkesztés

Igen fontos eszköz a σ-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:

Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és GP(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(G) σ-algebra, amelynek A minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó σ-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).

Szorzattér szerkesztés

Ha (Φ, X) és (Ψ, Y) két mérhető tér, akkor a (Φ×Ψ, σ(X×Y)) is mérhető tér. Ezt a két mérhető tér által generált szorzattérnek vagy szorzat-σ-algebrának mondjuk.

Példák szerkesztés

  1. Tetszőleges nemüres Ω halmaz felett σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ω} halmaz, ez az Ω feletti triviális σ-algebra.
  2. Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆P(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti teljes σ-algebra.
  3. Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig σ-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti σ-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még atomhalmaz.
  4. Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a generált σ-algebra c. fejezetben.

Hivatkozások szerkesztés

Lásd még szerkesztés

Jegyzetek szerkesztés

  1. Ambar N. Sengupta: Sigma Algebras Archiválva 2006. szeptember 9-i dátummal a Wayback Machine-ben (PDF-jegyzet, v. 2007. augusztus 5.).
  2. Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az A = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy topológiát alkot, zárt az unióra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja A-nak.

További információk szerkesztés