A pi irracionálisságának bizonyítása

A pí szám irracionális. Jelen cikk ezt az állítást bizonyítja.

Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bizonyítása a tangensfüggvényt és a lánctörteket használja. Lényege, hogy a racionális számok tangense irracionális. A π/4 tangense 1, így π/4, tehát π sem lehet racionális.

A bizonyításhoz két lemma tartozik:

1. lemma: legyen ahol és relatív prímek. Ekkor, ha véges kivétellel , akkor irracionális.

2. lemma: tangensének lánctört alakja:

Első lemmaSzerkesztés

Feltehető, hogy már az   értéktől kezdve  , kivételek nincsenek. Ekkor minden pozitív egész  -re  , és mivel az   és   egészek különbsége legalább 1, ezért  . Mivel az   érték feltevésünk szerint egynél kisebb, ezért nem tudja megváltoztatni az egész számok előjelét.

Az előjel nem változott, ennélfogva   előjele megegyezik   előjelével. Hasonlóan kaphatjuk, hogy   előjele is megegyezik   előjelével, és abszolútértéke egynél kisebb. Leszálló rekurzióval (ismertebb néven: végtelen leszállással) beláthatjuk, hogy   előjele is ugyanez, és abszolútértéke nem lehet egynél nagyobb.

Az   eseteket könnyen átvizsgálhatjuk. Ha  , akkor tegyük fel indirekt, hogy   racionális:

 ,

ahonnan  . A   szám olyan, mint a fenti  , tehát egynél kisebb abszolútértékű, és  . Ezt ismételve törtek végtelen sorozatához jutunk, ahol a számlálók abszolútértékben csökkenő egészek, ami ellentmondás.

Második lemmaSzerkesztés

A szinusz és a koszinusz sorfejtését felhasználva:

 
  ahol  

és hasonlóan írhatjuk, hogy   Ezt folytatva kapjuk, hogy  

a rekurziót feloldva

 

Innen már következik, hogy

 

Még bizonyítani kellene, hogy ez a sor a tangenshez konvergál. Ehhez a számlálók és a nevezők egyenletes konvergenciáját és határértékeit kell igazolni.

A tétel bizonyításaSzerkesztés

A   helyett használhatjuk a  -t Legendre nyomán:

 
 
 

 -től kezdve  , tehát az első lemmával kapjuk, hogy  , így   is irracionális.

ForrásokSzerkesztés