Abszolútérték-függvény

(Abszolút érték szócikkből átirányítva)

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Az abszolútérték-függvény grafikonja

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciókSzerkesztés

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

 

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

  1.  
  2.  
  3.  


ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

PéldákSzerkesztés

 
 

Analitikus tulajdonságokSzerkesztés

NemnegativitásSzerkesztés

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

 

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

SzubadditivitásSzerkesztés

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

 

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

FolytonosságSzerkesztés

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

A Lipschitz-folytonosság a szubadditivitásból és a fordított háromszög-egyenlőtlenségből következik, ahol a Lipschitz-konstans  :

 .

Derivált és integrálSzerkesztés

Az abszolútérték-függvény a   halmazon megegyezik az   függvénnyel, amely minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja  . Hasonlóan, a függvény a   halmazon megegyezik az   függvénnyel, amely szintén minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja  . Emiatt a függvény az   halmazon differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

 

Korlátos intervallumon integrálható. Egy határozatlan integrálja  .

Arkhimédészi tulajdonságSzerkesztés

Az abszolútérték arkhimédészi norma, azaz, hogyha van egy   egész szám, melyre  , akkor minden   egész számra teljesül, hogy  .[1]

Algebrai tulajdonságokSzerkesztés

MultiplikativitásSzerkesztés

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

 

Iteráció-invarianciaSzerkesztés

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

 

vagy az analízis formalizmusában

 

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségekSzerkesztés

A megoldáshoz tudni kell, hogy   esetén következik, hogy   vagy  . Hogyha  , akkor  .

Például szeretnénk megoldani az   egyenletet a valós számokon.

A számolás a következő:

 
 
 
 

Tehát az egyenletnek két megoldása van  -re, jelesül 2 és −8.

Egyenlőtlenségek esetén alkalmazhatók:

 
 

Például szeretnénk meg oldani az   egyenlőtlenséget a valós számokon.

Számolhatunk a következőképpen:

 
 
 
 

Tehát megoldásként a   intervalllum adódik.

Általában az  ,   és   valós számokra:

 .

ÁltalánosításSzerkesztés

Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

 

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.

Általában egy algebrában az abszolút érték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Komplex abszolútértékSzerkesztés

Legy  , ahol  ,   valós. Ekkor

 ,

ahol   a   szám komplex konjugáltja. Hogyha   valós, akkor  , így  ; ezzel a komplex abszolútérték

 

ami éppen megegyezik a valós abszolútértékkel.

A komplex abszolútértékre példa:

 

A komplex abszolútérték nem komplex differenciálható, hiszen csak valós értékeket vesz fel, így nem teljesíti a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

NormaSzerkesztés

Egy normának három tulajdonságnak kell megfelelnie: definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás. Mivel a valós és a komplex abszolútértéknek megvannak ezek a tulajdonságai, azért mindkettő norma, mégpedig abszolútérték-norma.

A definitség következik abból, hogy a négyzetgyökfüggvénynek a nulla az egyetlen nullhelye:

 

A homogenitás adódik abból, hogy ha   komplex számok, akkor

 

A háromszög-egyenlőtlenség:

 

ahonnan négyzetgyökvonással adódik az eredmény. Itt kihasználtuk, hogy a konjugálás felcserélhető a szorzással és az összeadással. Továbbá azt, hogy a kétszeri konjugálás eredménye a kiindulási komplex szám; illetve, hogy a komplex abszolútérték legalább akkora, mint a valós része. Valós esetben nincs szükség konjugálásra.

Az abszolútérték-normát indukálja a skaláris szorzat a valós és a komplex számok fölött. Jelölje   és   a két számot. Az abszolútérték-norma által indukált metrika:

 ,

ahol a távolság két szám különbségének abszolútértéke.

A definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás alapján az abszolútérték tetszőleges vektortérre általánosítható. Az egyértelműség azonban nincs biztosítva.

Egyéb testek fölöttSzerkesztés

Legyen   integritási tartomány, és   egy   függvény! Teljesüljenek még a következő tulajdonságok is:

  (0) Nemnegativitás
  (1) Definitség
(0) és (1) együtt pozitív definitség
  (2) Multiplikativitás, abszolút homogenitás
  (3) Szubadditivitás, háromszög-egyenlőtlenség

A   függvény kiterjesztésre a hányadostestre a multiplikativitás miatt egyértelmű. Ezekkel a tulajdonságokkal a   függvény a hányadostest értékelése.

Ha   minden   természetes számra, akkor a norma vagy az értékelés nemarkhimédészi.

A   minden   esetben triviális nemarkhimédészi norma vagy értékelés.

Nemarkhimédészi esetben teljesül

  (3’) az éles háromszög-egyenlőtlenség.

Emiatt a norma ultrametrikus. Megfordítva, minden ultrametrikus norma nemarkhimédészi.

  • Ha egy integritástartománynak van arkhimédészi normája, akkor karakterisztikája nulla.
  • A nem nulla (azaz prímszám) karakterisztikájú integritástartományoknak csak nemarkhimédészi normája lehet.
  • A véges integritástartományok prímkarakterisztikájú véges testek, ahol csak a triviális norma létezik.
  • A racionális számok   teste, mint prímtest karakterisztikája nulla, és véges bővítésein mind arkhimédészi, mint nemarkhimédészi normák vannak.
  • Az Ostrowski-tétel szerint a racionális számokon egyetlen arkhimédészi norma van (ami euklideszi is). A többi norma nemarkhimédészi p-adikus norma, ahol a p betű prímszámra utal. Mindezekre érvényes az approximációs tétel.

Ha   test, akkor a rajta normával indukált metrikák teljessé tehetők. Az így teljessé tett testet   jelöli. A racionális számok arkhimédészi teljessé tételei   és  . A nemarkhimédészi teljessé tételek   minden   prímre.

A triviális norma kiterjesztése is triviális.

Legyenek   és   egy   test normái vagy értékelései! Ekkor a következők:

  1. Minden   sorozat, ami   szerint nullsorozat, azaz  , akkor   szerint is nullsorozat – és megfordítva.
  2. Ha  , akkor  .
  3.   a   hatványa, vagyis   minden   esetén egy előre rögzített   számmal.

Lásd mégSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Betragsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

JegyzetekSzerkesztés

  1. van der Waerden. Algebra. Springer-Verlag, 203, 212. o. (1967)