Bázis (lineáris algebra)

lineáris algebrai fogalom

A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben.

Ugyanaz a vektor, több bázisban reprezentálva, lila és piros nyilakkal

A bázis elemei a bázisvektorok. Ha egy vektort egy bázis vektorainak lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor az együtthatók rendre a vektor koordinátái az adott bázisban. Függvényterekben a bázis elemeit bázisfüggvényeknek nevezzük. Egy vektortérben általában több bázis is van; a bázisváltást koordinátatranszformációnak is nevezzük. Ha más bázisokról is szó van, akkor ezt a bázist Hamel-bázisként említik. Nem tévesztendő össze egy koordináta-rendszer bázisával, ami egy másik fogalom.

Definíció szerkesztés

Vektorok egy BV halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.

Adva legyen a   vektortér, és legyen   egy részhalmaz  -ben! A következő definíciók egyenértékűek:

  •   minden eleme előáll   elemeinek lineáris kombinációjaként, és ez az előállítás egyértelmű
  •   minimális generátorrendszere  -nek; azaz   minden eleme előáll   elemeinek lineáris kombinációjaként, de ez   egy részhalmazára sem teljesül
  •   maximális lineárisan független halmaz  -ben, azaz nincs  -ben olyan vektor, melyet hozzávéve   független maradna.
  •   lineárisan független generátorrendszer  -ben.

Alkalmas   indexhalmaz segítségével egy bázis írható úgy, mint  ; egy véges bázis úgy, mint  . Egy   indexhalmaz bevezetésekor gyakran a család írásmódot használják; például ahelyett, hogy  , azt írják, hogy  . Ha az   indexhalmaz rendezett, akkor az a bázist is sorba rendezi. Ekkor   rendezett bázis. Például   véges bázis,   megszámlálhatóan végtelen bázis. Ez lehetővé teszi az irányok definiálását vektorterekben.

Habár a bázisokat többnyire halmazként írjuk fel, praktikusabb indexelést használni. Ekkor a koordinátavektorok alakja  ; a koordinátatér  . Rendezett   indexhalmaz esetén a bázis is rendezett. Például ha  , akkor   (a koordináták számozása). A koordinátatér  ; valós, illetve komplex esetben  , illetve  .

A definíció kibontása véges dimenzióban szerkesztés

Legyen   egy   feletti vektortér (jelben:  ),   a vektortér bázisa, ha

1.)   a   generátorrendszere  - nek:

Bármely     vektora esetén egyértelműen léteznek  - beli skalárok úgy, hogy  
Ebben az esetben a   skalárokat a vektor   bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

2.)   egymástól lineárisan független vektorok:

Ha  , akkor  .

A   vektortér dimenzióját a   bázis számossága adja meg:

 
Ennek következménye, hogy ha   dimenziós vektortérnek   és   vektorlisták egyaránt bázisai, akkor  .[1]

Az ekvivalens definíciók egyenértékűségének bizonyítása szerkesztés

  • Ha minden vektor egyértelműen kifejezhető   elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor   generátorrendszer. Ha   nem minimális generátorrendszer, akkor van egy   valódi részhalmaza, ami szintén generátorrendszer. Legyen most  ; ekkor   kifejezhető   elemeinek lineáris kombinációjaként, tehát kétféleképpen is felírható   elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond az egyértelműségnek. Ennélfogva   minimális.
  • A minimális generátorrendszerek lineárisan függetlenek. Ha   nem lineárisan független, akkor van egy  , ami kifejezhető   lineáris kombinációjaként. Ekkor   vektorainak minden lineáris kombinációja behelyettesítéssel átírható   lineáris kombinációjára, így   nem minimális.
  • Egy lineárisan független generátorrendszernek maximális független halmaznak kell lennie. Ha nem maximális, akkor van egy   vektor, ami lineárisan független  -től. De   kifejezhető   elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond a lineáris függetlenségnek.
  • Minden maximálisan független rendszer generátorrendszer is: Legyen   tetszőleges vektor! Ha   eleme  -nek, akkor kifejezhető   lineáris kombinációjaként. Ha   nincs benne  -ben, akkor   valódi tartalmazó halmaza  -nek, így lineárisan összefüggő. Ekkor vannak olyan együtthatók, hogy  . Itt nem lehet az összes  , mivel   lineárisan független; így az egyik megegyezik  -gal. Feltehetjük, hogy ez  , és együtthatója a nullától különböző  . Ekkor  . Az ábrázolás egyértelműsége   lineáris függetlenségéből következik.

A létezés bizonyítása szerkesztés

A Zorn-lemmával igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.

Legyen  b vektortér! Bázis, azaz maximálisan lineárisan független részhalmazt keresünk benne. Vesszük az

 

halmazrendszert, ami részben rendezett a   relációra. megmutatható, hogy:

  •   nem üres, hiszen benne van az üres halmaz. Ha   nem üres, akkor az összes nullvektortól különböző vektora szerepel benne egyelemű halmazként.
  • minden   lánc   is  -ben.

A Zorn-lemmából következik, hogy  -nek van maximális eleme. A maximális elemek azonban maximális lineárisan független részhalmazok  -ben, vagyis   bázisai. Tehát  -nek van bázisa, és minden lineárisan független vektorból álló halmaz egy bázis része.

Egy   elemű véges test fölötti   dimenziós vektortérben

 

különböző bázis van.

Kiegészítési tétel szerkesztés

Adva legyen vektorok lineárisan független   részhalmaza, és a létezés bizonyítása szakasz jelölésével legyen

 

és felhasználjuk azt az eredményt, hogy  -t tartalmazza   egy maximális eleme, ami bázis  -ben. Így minden lineárisan független vektorhalmaz kiegészíthető bázissá.

Kicserélési tétel (Steinitz-tétel) szerkesztés

Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gn generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely fi-hez található olyan gj, hogy
 
is lineárisan független rendszer.
Bizonyítás
Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f1-re ez nem igaz, vagyis az f2,…,fn vektorokhoz akármelyik gj-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f2,…,fn független rendszerből előállítható g1,..., gn generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f2,…,fn bázis. Így V minden eleme, speciálisan f1 is előáll f2,…,fn lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f1,…,fn lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel
Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gk generátorrendszer egy V vektortérben.
Ekkor nk.
Bizonyítás
Első lépésben f1-et cseréljük ki valamelyik gj-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f2-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az fi-k el nem fogynak.
Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.
Következmény
Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Tulajdonságok szerkesztés

  • Minden vektortérnek van bázisa.
  • Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
  • Egy vektortér minden bázisa ugyanannyi elemből áll. Ez a szám, ami lehet végtelen kardinális szám is, a vektortér dimenziója.
    • Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
    • Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.[2]
  • Legyen   ,   résztere  -nek. Legyen   a   nek bázisa, ekkor a   bázist ki lehet egészíteni úgy  - beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen  -nek.[1]
  • Minden vektortér szabad objektum bázisa fölött. Ez a vektorterek univerzális tulajdonsága a kategóriaelmélet értelmében. Ez azt jelenti, hogy:
  • Egy lineáris leképezést egyértelműen meghatározza egy bázis elemeinek képei. Legyen   vektortér a   test fölött! Ekkor a   részhalmaz egyértelműen definiál egy   lineáris leképezést, ahol   az  -edik standard bázisvektor. Ez a leképezés:
  • pontosan akkor injektív, ha a   vektorok lineárisan függetlenek
  • szürjektív, ha  -k generátorrendszert alkotnak
  • bijektív, ha a   vektorok bázist alkotnak
Egy bázis tetszőleges leképezése a képtérben lineáris leképezést definiál.
Mindez a jellemzés átvihető modulusokra is.

Koordináták szerkesztés

Egy V vektortérben, egy rögzített b1,…,bn bázis mellett tetszőleges vV vektor egyértelműen írható fel

 

alakban.
Ekkor az   skalárok a v vektor koordinátái, a b1,…,bn bázisra vonatkozólag. Egy vektortérben a vektorok koordinátái a vektortér alaptestének elemei. Ezek együtt alkotják a   koordinátavektort, ami egy másik vektortér, a   koordinátatér eleme. Lényeges, hogy melyik koordináta melyik vektorhoz tartozik. Ha a bázis nincs indexelve, akkor az egyes vektorokat indexben jelölni kell.

Báziscsere szerkesztés

Legyen   vektortérben   és   bázis.

a.) Ha   a   egyik vektora, úgy, hogy  , akkor a   a   vektor felírása a   bázisban
b.) Legyen  -beli elem minden  -re és  -re. Felírható a következő egyenletrendszer:
 
 
 
 
Ekkor a   vektorokhoz tartozó együtthatókat rendre beírjuk egy mátrix oszlopaiba, a keletkezett mátrix a   bázisból   bázisba való áttérési mátrix lesz.
 [1]

Példák szerkesztés

 
e1 és e2 a sík egy bázisa
  • a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
  • a standard bázis az   euklidészi síkban, vagyis az   vektorpár
  • két, nem egyazon, vagy ellentétes irányba mutató vektor az euklidészi síkban
  • hasonlóan   -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas
 
  •  -ben ortonormált bázist alkot az
 
vektorhalmaz, mely   standard bázisa.
  •   -ban bázis
 
ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.
  • az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az
 
vektorok.
  • a polinomok vektorterében vannak más bázisok, amelyek konkrét alkalmazásokban hasznosabbak, mint a monomok, például a Legendre-polinomok
  • a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa:  
  • a   nullvektortérben az üres halmaz
  • a  , mint   fölötti vektortérben az   halmaz
  • a  , mint   fölötti vektortérben egy olyan számpár, melyek hányadosa nem valós
  • a valós számsorozatok körében az   vektorok lineárisan függetlenek, de nem alkotnak bázist, mivel például   nem fejezhető ki véges sok elem lineáris kombinációjaként
  •  , mint   fölötti vektortér esetén van bázis, amit nem lehet explicit megadn

Speciális vektorterekben szerkesztés

Valós és komplex vektorterek további topológiai struktúrával bírnak. A fent bevezetett bázisfogalomtól eltérő bázisok is definiálhatók bennük.

Bázis és duális bázis a háromdimenziós valós vektortérben szerkesztés

A klasszikus mechanikában a megfigyelési teret skalárszorzatos háromdimenziós valós vektortérrel, azaz a (V³, ·) vektortérrel modellezik. A skalárszorzat megléte a vektorteret további tulajdonságokkal ruházza fel.

Háromdimenziós valós vektortérben minde   bázishoz tartozik pontosan egy   duális bázis úgy, hogy   ahol δ a Kronecker-delta. A skalárszorzattal definiálható a vektorok normája és szöge, így előállíthatók ortonormált bázisok, melyek elemei páronként ortogonálisak, és normájuk egységnyi. Ortonormált bázisok esetén a duális bázis megegyezik a bázissal.

Minden   vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

 

A skalárszorzattal ellátott háromdimenziós valós vektortér teljes is, azaz Hilbert-tér.

Hamel- és Schauder-bázisok skalárszorzatos terekben szerkesztés

Valós és komplex skalárszorzatos vektorterekben, különösen a Hilbert-terekben az elemek előállíthatók más, bizonyos céloknak megfelelőbb módon. Ebben az előállításban ortonormált bázist használunk, de megengedünk végtelen összegeket is. A végtelen összeg megengedése miatt ez nem bázis a fenti értelemben, így egy másik nevet kap: ez a Schauder-bázis. A fent leírt bázist ekkor Hamel-bázisnak hívják.

Auerbach-bázis szerkesztés

Egy Auerbach-bázis egy normált vektortér sűrű alterének Hamel-bázisa; úgyhogy minden bázisvektor távolsága a többi vektor által generált altértől megegyezik a bázisvektor normájával.

A különböző bázisfogalmak elhatárolása szerkesztés

  • A Hamel- és a Schauder-bázis is lineárisan független vektorokból áll.
  • Egy Hamel-bázis, röviden bázis vektorok véges lineáris kombinációjával fejezi ki a tér vektorait.
  • Véges dimenziós valós, illetve komplex skalárszorzatos vektorterekben egy ortonormált bázis egyszerre Hamel- és Schauder-bázis.
  • Végtelen dimenziós, teljes valós vagy komplex skalárszorzatos vektortérben, speciálisan végtelen dimenziós Hilbert-térben a Hamel- és a Schauder-bázisok sosem esnek egybe. Végtelen dimenziós esetben egy Hamel-bázis nem mindig ortonormálható.
  • Végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert-tér Hamel-bázisa nem megszámlálható; ezzel szemben egy Schauder-bázis megszámlálható. Nem létezik   Hamel-dimenziós Hilbert-tér.
  • Hilbert-terekben bázison többnyire Schauder-bázist értenek; skalárszorzat nélküli vektorterekben mindig Hamel-bázist.

Általánosítás szerkesztés

A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.[3]

Források szerkesztés

  1. a b c Marcus, Andrei. Algebra [2005] 
  2. Csernák Tamás: Zorn-lemma és alkalmazásai. ELTE TTK. (Hozzáférés: 2021. március 9.)
  3. Weisstein, Eric W.: Free Module (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Basis (Vektorraum) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.